Derivadas

Consideremos una función lineal definida por una recta $l_1$ , decimos que la pendiente de ésta determina la razón de cambio entre un punto y otro; y es que está definida como el cociente del cambio en el eje Y entre el cambio en el eje X. Formalmente, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

De la forma en que hemos definido la razón de cambio para las funciones lineales, permite definir una forma general para la razón de cambio entre cualesquiera dos puntos pues siempre es la misma. Pero, ¿es posible definir una forma general para la razón de cambio para cualquier función?

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La derivada de una función en un punto

Si consideramos cualquier función $y=f(x)$ , es posible estimar la razón de cambio de la misma forma que lo hemos hecho con las funciones lineales, es decir, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

Gráficamente podemos notar que hay cierta holgura en nuestra estimación, así que podemos decir que no es precisa. Podemos mejorar esta estimación considerando un punto $(x_2,y_2)$ más cercano a $(x_0,y_0)$ y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0}$

Incluso, si consideramos un punto $(x_3,y_3)$ aún más cercano a $(x_0,y_0)$ , la estimación será más precisa y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_3 - y_0}{x_3 - x_0}$

De esta forma podemos notar que mientras más cercano está el punto de $(x_0,y_0)$ , más precisa será nuestra estimación de la razón de cambio. Entonces, consideramos puntos $(x,y)$ lo más cercanos posibles recurriendo al cálculo infinitesimal, es decir, al cálculo de límites.

Formalmente, si consideramos el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ , entonces la razón de cambio puntual estará dada por $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ . A este límite lo llamamos derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ y lo denotaremos de la siguiente forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva definida por $f(x)$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ , es decir, la recta que corta a la curva $f(x)$ únicamente en el punto $(x_0,f(x_0))$ de la siguiente forma:

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Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática $f(x)=x^2$ y suponga que queremos calcular su derivada en en $x_0 = 2$ . Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

$\displaystyle f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

$\displaystyle = \frac{4-4}{2-2}$

$\displaystyle = \frac{0}{0}$

Este límite presenta una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} x + 2$

$\displaystyle = 2+2$

$\displaystyle = 4$

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto $x_0 = 2$ es igual a $4$ , geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)=x^2$ en el punto $(2,4)$ es igual a $4$ .

La derivada de una función en cualquier punto

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ , entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente, pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto $x$ . Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa.

Consideremos, una variable auxiliar definida como $h=x-x_0$ , esta tenderá a cero cuando $x$ tiende a $x_0$ , y además, si despejamos $x$ , obtenemos lo siguiente:

$x = x_0+ h$

Entonces, podemos reescribir la derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ de la forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Entonces, evaluamos la función en $x_0 + h$ y $x_0$ para luego aplicar producto notable y obtener que

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}$

Sacamos $h$ como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el $h$ que está en el numerador y evaluamos el límite.

$\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h$

$\displaystyle = 2 x_0 + 0$

$\displaystyle = 2 x_0$

Considerando que $x_0$ es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si $f(x) = x^2$ entonces su derivada en cualquier punto $x$ de su dominio está definida como

$f'(x) = 2x$

De modo que la derivada de la función $f(x)=x^2$ en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ es $f'(3)=2(3)=6$ y $f'(-5)=2(-5)=-10$ , respectivamente.

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Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales

Tabla de Derivadas Elementales

$f(x)$	$f'(x)$
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$n \cdot x^n$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$

$f(x)$	$f'(x)$
$a^x$	$a^x \cdot \ln(x)$
$\textit{\large e}^x$	$\textit{\large e}^x$
$\log_a(x)$	$\dfrac{1}{x \cdot \ln(x)}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$

$f(x)$	$f'(x)$
$sen(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$-sen(x)$
$tan(x)$	$\dfrac{1}{cos^2(x)}$

9 comentarios en “Derivadas”

Interpretación económica de la derivada – totumat dice:

19.11.2021 a las 10:35 am

[…] observando esta expresión, notamos inmediatamente que esta es justamente la derivada de la función respecto a la variable , es […]

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