Hemos dicho anteriormente que las derivadas presentan una herramienta valiosa para el estudio de funciones, sin embargo, no se ha especificado qué tipo de estudio ni como éstas ayudan a estudiar las funciones. Empecemos por definir los conceptos básicos sobre el comportamiento de las funciones.
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Funciones Crecientes
De forma intuitiva, diremos que una función 
es creciente si esta se hace más grande a medida que crece la variable 
. Formalmente, diremos que una función es creciente en un intervalo 
si para todo 
tal que 
entonces 
.
Gráficamente, si 
está a la izquierda de 
, entonces 
está por debajo de 
pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente positiva
Por lo tanto es posible caracterizar las funciones crecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de , esta será positiva.
Funciones Decrecientes
Por otra parte, diremos que una función es decreciente si esta se hace más pequeña a medida que crece la variable . Formalmente, diremos que una función es decreciente en un intervalo si para todo tal que entonces 
.
Gráficamente, si está a la izquierda de , entonces está por encima de pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente negativa
Por lo tanto es posible caracterizar las funciones decrecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de , esta será negativa.
Caracterización de la monotonía de funciones
Si una función es solo creciente o solo decreciente en un intervalo, diremos que esta es monótona en dicho intervalo. Las caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre el crecimiento o decrecimiento de una función de la siguiente forma: Sea una función definida en un intervalo , tenemos que para todo 
Veamos en los siguientes ejemplos como determinar monotonía de una función usando la primera derivada.
Ejemplos
Ejemplo 1
Determine la monotonía de la función 
en todo su dominio, es decir, en el intervalo 
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que 
. Notamos inmediatamente que 
es un número positivo y la expresión 
siempre es un número positivo, por lo tanto, 
para todo número real . Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en todo su dominio.
Ejemplo 2
Determine la monotonía de la función 
en el intervalo 
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que 
. Notamos inmediatamente que 
es un número positivo y la expresión siempre es un número positivo, por lo tanto, 
para todo número real . Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es decreciente en el intervalo , e incluso podemos afirmar que es decreciente en todo su dominio.
Ejemplo 3
Determine la monotonía de la función
en el intervalo 
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que 
. Notamos inmediatamente que 
es un número positivo y la expresión 
siempre es un número positivo, por lo tanto, 
para todo número real . Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en el intervalo , e incluso podemos afirmar que es creciente en todo su dominio.
Ejemplo 4
Determine la monotonía de la función
en su todo dominio, es decir, en el intervalo .
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que 
. Nos preguntamos, ¿esta expresión es positiva o es negativa? La respuesta depende del valor de , es por esto que tenemos que segmentar nuestra respuesta.
si 
, entonces es decreciente si 
.
si 
, entonces es creciente si 
.
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