Hemos dicho anteriormente que las derivadas presentan una herramienta valiosa para el estudio de funciones, sin embargo, no se ha especificado qué tipo de estudio ni como éstas ayudan a estudiar las funciones. Empecemos por definir los conceptos básicos sobre el comportamiento de las funciones.
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Funciones Crecientes
De forma intuitiva, diremos que una función es creciente si esta se hace más grande a medida que crece la variable
. Formalmente, diremos que una función es creciente en un intervalo
si para todo
tal que
entonces
.
Gráficamente, si está a la izquierda de
, entonces
está por debajo de
pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente positiva

Por lo tanto es posible caracterizar las funciones crecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de , esta será positiva.
Funciones Decrecientes
Por otra parte, diremos que una función es decreciente si esta se hace más pequeña a medida que crece la variable
. Formalmente, diremos que una función es decreciente en un intervalo
si para todo
tal que
entonces
.
Gráficamente, si está a la izquierda de
, entonces
está por encima de
pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente negativa

Por lo tanto es posible caracterizar las funciones decrecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de , esta será negativa.
Caracterización de la monotonía de funciones
Si una función es solo creciente o solo decreciente en un intervalo, diremos que esta es monótona en dicho intervalo. Las caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre el crecimiento o decrecimiento de una función de la siguiente forma: Sea una función definida en un intervalo
, tenemos que para todo
Si , entonces
es creciente
Si , entonces
es decreciente
Veamos en los siguientes ejemplos como determinar monotonía de una función usando la primera derivada.
Ejemplos
Ejemplo 1
Determine la monotonía de la función en todo su dominio, es decir, en el intervalo
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que
. Notamos inmediatamente que
es un número positivo y la expresión
siempre es un número positivo, por lo tanto,
para todo número real
. Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en todo su dominio.
Ejemplo 2
Determine la monotonía de la función en el intervalo
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que
. Notamos inmediatamente que
es un número positivo y la expresión
siempre es un número positivo, por lo tanto,
para todo número real
. Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es decreciente en el intervalo
, e incluso podemos afirmar que es decreciente en todo su dominio.
Ejemplo 3
Determine la monotonía de la función en el intervalo
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que
. Notamos inmediatamente que
es un número positivo y la expresión
siempre es un número positivo, por lo tanto,
para todo número real
. Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en el intervalo
, e incluso podemos afirmar que es creciente en todo su dominio.
Ejemplo 4
Determine la monotonía de la función en su todo dominio, es decir, en el intervalo
.
Para esto calculamos la primera derivada de y obtener que
. Nos preguntamos, ¿esta expresión es positiva o es negativa? La respuesta depende del valor de
, es por esto que tenemos que segmentar nuestra respuesta.
si
, entonces
es decreciente si
.
si
, entonces
es creciente si
.
[…] Monotonía de Funciones […]
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