Monotonía de Funciones

Hemos dicho anteriormente que las derivadas presentan una herramienta valiosa para el estudio de funciones, sin embargo, no se ha especificado qué tipo de estudio ni como éstas ayudan a estudiar las funciones. Empecemos por definir los conceptos básicos sobre el comportamiento de las funciones.

De forma intuitiva, diremos que una función $f(x)$ es creciente si esta se hace más grande a medida que crece la variable $x$ . Formalmente, diremos que una función es creciente en un intervalo $(a,b)$ si para todo $x_1, x_2 \in (a,b)$ tal que $x_1 < x_2$ entonces $f(x_1) < f(x_2)$ .

Gráficamente, si $x_1$ está a la izquierda de $x_2$ , entonces $f(x_1)$ está por debajo de $f(x_2)$ pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente positiva

Por lo tanto es posible caracterizar las funciones crecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de $(a,b)$ , esta será positiva.

Por otra parte, diremos que una función $f(x)$ es decreciente si esta se hace más pequeña a medida que crece la variable $x$ . Formalmente, diremos que una función es decreciente en un intervalo $(a,b)$ si para todo $x_1, x_2 \in (a,b)$ tal que $x_1 < x_2$ entonces $f(x_1) > f(x_2)$ .

Gráficamente, si $x_1$ está a la izquierda de $x_2$ , entonces $f(x_1)$ está por encima de $f(x_2)$ pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente negativa

Por lo tanto es posible caracterizar las funciones decrecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de $(a,b)$ , esta será negativa.

Si una función es solo creciente o solo decreciente en un intervalo, diremos que esta es monótona en dicho intervalo. Las caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre el crecimiento o decrecimiento de una función de la siguiente forma: Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo $(a,b)$ , tenemos que para todo $x \in (a,b)$

Si $f'(x) > 0$ , entonces $f(x)$ es creciente
Si $f'(x) < 0$ , entonces $f(x)$ es decreciente

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar monotonía de una función usando la primera derivada.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine la monotonía de la función $f(x) = x^3 + 8$ en todo su dominio, es decir, en el intervalo $(-\infty,+\infty)$ .

Para esto calculamos la primera derivada de $f(x)$ y obtener que $f'(x) = 3x^2$ . Notamos inmediatamente que $3$ es un número positivo y la expresión $x^2$ siempre es un número positivo, por lo tanto, $f'(x) = 3x^2 > 0$ para todo número real $x$ . Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en todo su dominio.

Ejemplo 2

Determine la monotonía de la función $f(x) = \frac{7}{x}$ en el intervalo $(3,10)$ .

Para esto calculamos la primera derivada de $f(x)$ y obtener que $f'(x) = -\frac{7}{x^2}$ . Notamos inmediatamente que $7$ es un número positivo y la expresión $x^2$ siempre es un número positivo, por lo tanto, $f'(x) = -\frac{7}{x^2} < 0$ para todo número real $x$ . Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es decreciente en el intervalo $(3,10)$ , e incluso podemos afirmar que es decreciente en todo su dominio.

Ejemplo 3

Determine la monotonía de la función $f(x) = \textit{\Large e}^{5x-9}$ en el intervalo $(-5,12)$ .

Para esto calculamos la primera derivada de $f(x)$ y obtener que $f'(x) = 5\textit{\Large e}^{5x-9}$ . Notamos inmediatamente que $5$ es un número positivo y la expresión $\textit{\Large e}^{5x-9}$ siempre es un número positivo, por lo tanto, $f'(x) =5 \textit{\Large e}^{5x-9} > 0$ para todo número real $x$ . Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en el intervalo $(-5,12)$ , e incluso podemos afirmar que es creciente en todo su dominio.

Ejemplo 4

Determine la monotonía de la función $f(x) = \frac{x^2}{2} - 4x$ en su todo dominio, es decir, en el intervalo $(-\infty,+\infty)$ .

Para esto calculamos la primera derivada de $f(x)$ y obtener que $f'(x) = x-4$ . Nos preguntamos, ¿esta expresión es positiva o es negativa? La respuesta depende del valor de $x$ , es por esto que tenemos que segmentar nuestra respuesta.