Derivadas

Bosquejo de Polinomios

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Si se sabe interpretar de forma correcta la información que se obtiene de las derivadas de una función se puede hacer bosquejo de un polinomio sin necesidad de extenderse mucho en los cálculos, sin embargo, definamos una serie de pasos que facilite el flujo de la información que vamos obteniendo del polinomio para poder apreciar su comportamiento general. Si P(x) un polinomio, entonces

  1. Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  2. Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  3. Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  4. Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  5. Esbozar la gráfica.

De esta forma, aunque es un proceso extenso, se observa con claridad el comportamiento de la función en cada intervalo de la recta real estudiando la función, su primera derivada y su segunda derivada. Veamos con algunos ejemplos como hacer estos bosquejos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^2 + 5x +6

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^2 + 5(0) +6 = 6

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^2 + 5x +6 = 0 \Longrightarrow (x+2)(x+3)=0

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=-2 y x=-3. Así, podemos estudiar la positividad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty).
  • Está por debajo del Eje X en el intervalo (-3,-2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 2x+5. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0, esto es,

2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2}

Entonces, el punto crítico del polinomio es x=-\frac{5}{2}. Así, podemos estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es decreciente en el intervalo (-\infty,-\frac{5}{2}),
  • Es creciente en el intervalo (-\frac{5}{2},+\infty).
  • Alcanza un mínimo local en x=-\frac{5}{2}.
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Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 2. Concluyendo inmediatamente que nunca es igual a cero, entonces no tiene puntos de inflexión. Aunque la conclusión es clara, haremos una tabla de análisis de signo para ilustrar lo que ocurre.

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es convexo en todo su dominio.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P(-\frac{5}{2}) =\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{2} \right) + 6 = -\frac{1}{4} = -0.25

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

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Ejemplo 2

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^3 - 2(0)^2 -(0) +2 = 2

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^3 - 2x^2 -x +2 = 0

Considerando que este polinomio es de grado tres, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método de Ruffini. Entonces, consideramos sus coeficientes de la siguiente manera

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=1, x=-1 y x=2. Así, podemos factorizar el polinomio como P(x)=(x-1)(x+1)(x-2) y estudiar su positividad haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-1,1) y (2,+\infty)
  • Está por debajo del Eje X en los intervalos (-\infty,-1) y (1,2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 3x^2 - 4x -1. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0. Considerando que este polinomio es de segundo grado, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método del Discriminante.

Identificamos los coeficientes del polinomio como a=3, b=-4 y c=-1 y aplicamos la fórmula del discriminante

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{6}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.54858

x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.21525

Entonces, los puntos críticos del polinomio son x=\dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} y x=\dfrac{2 - \sqrt{7}}{3}. Así, podemos factorizar la primera derivada del polinomio como P'(x)=3\left( x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)\left( x + \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) y estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es creciente en los intervalos \left(-\infty,\frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) y \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3},+\infty\right).
  • Es decreciente en el intervalo \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3},\frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right).
  • Alcanza un máximo local en x=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}.
  • Alcanza un mínimo local en x=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}.
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Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 6x-4. Calculamos los valores para los cuales P''(x)=0. Considerando que este polinomio lineal, el método que usaremos para calcular sus raíces será un simple despeje de la siguiente manera

6x-4 = 0 \Longrightarrow 6x = 4 \Longrightarrow x = \frac{4}{6} \Longrightarrow x = \frac{2}{3}

Entonces nuestro posible punto de inflexión es x=\frac{2}{3}, y estudiamos la concavidad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es cóncavo en el intervalo (-\infty,\frac{2}{3}).
  • Es convexo en el intervalo (\frac{2}{3},+\infty).
  • Alcanza un punto de inflexión en x=\frac{2}{3}.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx -0.63113
  • P\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx 2.11261
  • P\left(\frac{2}{3} \right) = \left(\frac{2}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2}{3} \right)^2 -\left(\frac{2}{3} \right) +2 \approx 0.740741

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Puntos de Inflexión.

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