Derivada de la función inversa

Al estudiar el comportamiento gráfico de una función y de su inversa, podemos notar que estas están reflejadas a través de la recta identidad, tomando esto en cuenta, pudiéramos determinar la derivada de la inversa de una función a partir de la derivada de la función original, pero, ¿de qué forma?

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Si estudiamos gráficamente la derivada de la función cuadrática, $f(x)=x^2$ , en el punto $x=1$ , sabemos que esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(1,1)$ . Esta pendiente es igual a $2$ .

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Por otra parte, si estudiamos gráficamente la derivada de la función raíz cuadrada, $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ , en el punto $x=1$ , esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(1,1)$ . Esta pendiente es igual a $\frac{1}{2}$ .

Debemos notar que la función cuadrática y la función raíz cuadrada son funciones inversas, y el resultado de cada una de sus derivadas, $2$ y $\frac{1}{2}$ , son inversamente proporcionales. Más aún, las rectas tangentes a ambas funciones en el punto $(1,1)$ parecieran ser una reflexión de la otra a través de la recta identidad, esto se puede apreciar mejor en el siguiente gráfico:

Esto sugiere que sus derivadas son inversamente proporcionales, para ser más precisos, la derivada de la función inversa de $f$ evaluada en $y_0$ es inversamente proporcional a la derivada de la función $f$ en la preimagen de $y_0$ . Esta idea se presenta formalmente con el siguiente teorema:

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Teorema (La derivada de la función inversa)

Sea $f : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ una función inyectiva, derivable en un punto $x_0=f^{-1}(y_0)$ del intervalo $(a,b)$ , tal que $f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0$ . Entonces, $f^{-1}$ es derivable en $y_0$ y además,

$(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big( f^{-1}(y_0) \big)}$

Podemos presentar esta última expresión de una forma más amigable, y es que si consideramos una variable $x=f^{-1}(y)$ , podemos reescribir la derivada de la variable $x$ respecto a la variable $y$ como un cociente de diferenciales de la siguiente forma:

$(f^{-1})'(y) = \frac{d}{dy} \left( f^{-1}(y) \right) = \frac{dx}{dy}$

Por otra parte, también podemos reescribir la derivada $f'\left( f^{-1}(y) \right)$ como un cociente de diferenciales, tomando en cuenta que $f$ y $f^{-1}$ son funciones inversas, de la siguiente forma:

$f'\left( f^{-1}(y) \right) = \frac{d}{dx} \left( f\left( f^{-1}(y) \right) \right) = \frac{dy}{dx}$

Entonces, aplicando el teorema para calcular la derivada de la función inversa, tenemos que

$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{\dfrac{dy}{dx}}$

Notemos que esta última expresión es equivalente a $\frac{dy}{dx} = \frac{ \ \ 1 \ \ }{\frac{dx}{dy}}$ y aunque este teorema es potente para el desarrollo de las matemáticas, existen algunos casos en la práctica donde resulta útil. Veamos en los siguientes ejemplos, algunas funciones para entender como calcular la función inversa usando este el teorema.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $f(x)=x^2$ , calcule la derivada de su función inversa $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ .

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función $f(x)$ es igual a $f'(x)=2x$ . Al evaluar la derivada en $f^{-1}(x)$ , obtenemos la expresión

$f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2 \cdot f^{-1}(x)$

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

$(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$= \dfrac{1}{2f^{-1}(x)}$

$= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Ejemplo 2

Considerando la función $f(x)=(x+1)^3$ , calcule la derivada de su función inversa $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-1$ .

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función $f(x)$ es igual a $f'(x)=3(x+1)^2$ . Al evaluar la derivada en $f^{-1}(x)$ , obtenemos la expresión

$f' \left( f^{-1}(x) \right) = 3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2$

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

$(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$= \dfrac{1}{3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2}$

$= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x}-1 + 1 \right)^2}$

$= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}$

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Ejemplo 3

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable $y=-2x+5$ , calcule la derivada de su función inversa $x=-\frac{1}{2}y + \frac{5}{2}$ .

Debemos tomar en cuenta que la derivada de $y$ respecto a la variable $x$ es igual a $\frac{dy}{dx}=-2$ , de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$

$= \dfrac{1}{-2}$

$= -\dfrac{1}{2}$

Ejemplo 4

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable $y=\textit{\Large e}^{x+1} + 7$ , calcule la derivada de su función inversa $x= \ln(y-7) - 1$ .

Debemos tomar en cuenta que la derivada de $y$ respecto a la variable $x$ es igual a $\frac{dy}{dx}=\textit{\Large e}^{x+1}$ , de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma: