Derivadas Parciales

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas pero estas funciones definen superficies en el espacio, así que en un punto de ellas existen infinitas rectas tangentes. Entonces, ¿cuál de todas las rectas tangentes será la que define la derivada?

Para hacer este estudio será necesario fijar una variable y variar la otra. Gráficamente lo que ocurre es al fijar una de las variables, estaremos cortando nuestra superficie con un plano y sobre este plano se proyectará una curva sobre la cual sí podremos hacer un estudio tal como lo hemos hecho antes.

Para entender lo que ocurre veamos un caso particular, consideremos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2. Si fijamos la variable y, digamos que y=1, entonces la función se expresará de la forma

f(x,1) = f(x) = x^2 + 1

Notando que depende de sólo una variable, esta función estará definida en un plano paralelo al plano XZ que pasa por el punto (0,1,0) y corta a la superficie como se ve a continuación:

Tomando en cuenta esto, definimos de forma general la Derivada Parcial de una función f(x,y) respecto a la variable x como la derivada de la función f(x,y) una vez que se ha fijado la variable y y la denotamos con

De igual forma, definimos de forma general la derivada parcial de una función f(x,y) respecto a la variable y como la derivada de la función f(x,y) una vez que se ha fijado la variable x y la denotamos con

Definiendo las derivadas parciales de esta forma, podemos usar todas las reglas de derivación que se han establecido para el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=x^2+y^2 una función definida en varias variables, calcule la derivada parcial respecto la variable x, es decir, \frac{\partial f}{\partial x}.

Primero debemos tomar en cuenta que si estamos derivando respecto a x, entonces estamos fijando la variable y, por lo tanto esta se comportará como una constante. Así,

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x}
= \; 2x + 0
= \; 2x

Si queremos calcular la derivada parcial respecto la variable y, es decir, \frac{\partial f}{\partial y}. Debemos notar que en este caso es la variable x la que estamos fijando y en consecuencia será ésta la que se comporte como una constante.

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (x^2)}{\partial y} + \frac{\partial (y^2)}{\partial y}
= \; 0 + 2y
= \; 2y

Ejemplo 2

Sea f(x,y)= 5x^8-2y^4 + 6xy. Calcule \frac{\partial f}{\partial x} y \frac{\partial f}{\partial y}.

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial x} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial x} + \frac{\partial (6xy)}{\partial x}
= \; 40x^7 - 0 + 6y
= \; 40x^7 + 6y

Recordemos que la derivada de c\cdot x es igual a c, donde c es una constante. De esta forma, al comportarse y como una constante, entonces la derivada del producto 6xy será 6y.

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial y}
= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial y} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial y} + \frac{\partial (6xy)}{\partial y}
= \; 0 - 8y^3 + 6x
= \; - 8y^3 + 6x

En este caso x se comporta como una constante, entonces la derivada del producto 6xy será 6x.

Ejemplo 3

Sea f(x,y)= \ln(5x+7y) + 10x^3y^5. Calcule \frac{\partial f}{\partial x} y \frac{\partial f}{\partial y}.

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial x} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial x}
= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 5 + 30x^2y^5
= \; \frac{5}{5x+7y} + 30x^2y^5

Por otra parte,

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial y}
= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial y} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial y}
= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 7 + 50x^3y^4
= \; \frac{7}{5x+7y} + 50x^3y^4


Derivación Implícita

Al considerar una función de la forma y=f(x), estamos definiendo a la función $f$ de forma explícita, recurriendo a y como una variable que depende enteramente de la variable x, sin embargo, este no siempre es el caso.

Definimos una función implícita como una relación entre dos variables a través de una igualdad. Si consideramos la ecuación general de la recta ax + by + c = 0, esta define una función implícita, aunque hay casos más interesantes pues al considerar la ecuación x^2+y^2=1 esta es la función implícita que define una circunferencia en el plano cartesiano centrada en el origen y de radio igual a 1.

Pudiéramos intentar definir esta circunferencia usando funciones explícitas como lo hemos hecho anteriormente pero no tendríamos éxito, a lo sumo pudiéramos definir semi-circunferencias con las expresiones

f(x) = \sqrt{1-x^2} ó f(x) = -\sqrt{1-x^2}

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo, es necesario considerar una variable como independiente y estudiar el comportamiento de la otra como si fuera una variable dependiente.

Para esto debemos adoptar la notación de la derivada como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx} ó \frac{dx}{dy} pues de esta forma podremos identificar las variables que estamos estudiando de forma clara. Veamos con algunas ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea x^2+y^2=1 una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

Empezaremos derivando respecto a la variable x en ambos lados de la ecuación x^2+y^2=1 para obtener

\frac{d(x^2+y^2)}{dx} = \frac{d(1)}{dx}

Notamos que al derivar una suma, podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

\frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d(y^2)}{dx}= \frac{d(1)}{dx}

Derivamos la función x^2 respecto a x usando la regla del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar y^2 debemos tomar en cuenta que la variable y se está comportando como una variable dependiente, de esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, la derivada de 1 es igual a 0 por ser esta una constante.

2x + 2y \dfrac{dy}{dx}= 0

Finalmente, despejamos \dfrac{dy}{dx} para expresar esta derivada de forma explícita.

2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0

\Rightarrow \; 2y \dfrac{dy}{dx} = -2x

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2x}{2y }

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y }

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma f^n, entonces la derivada de esta viene dada por n \cdot f^{n-1} \cdot f'.

Ejemplo 2

Sea 3x-2y+5xy=6 una función implícita. Calcule al derivada de la variable x respecto a la variable y, es decir, calcule \frac{dx}{dy}.

3x-2y+5xy=6

\Rightarrow \; \dfrac{d(3x-2y+5xy)}{dy} = \dfrac{d(6)}{dy}

\Rightarrow \; \dfrac{d(3x)}{dy} - \dfrac{d(2y)}{dy} + \dfrac{d(5xy)}{dy} = \dfrac{d(6)}{dy}

\Rightarrow \; 3\dfrac{dx}{dy} - 2 + 5\dfrac{dx}{dy}y + 5x = 0

\Rightarrow \; 3\dfrac{dx}{dy} + 5\dfrac{dx}{dy}y = 2 - 5x

\Rightarrow \; \dfrac{dx}{dy}(3+5y) = 2 - 5x

\Rightarrow \; \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{2 - 5x}{3+5y}

Ejemplo 3

Sea \ln(9x-4y) + 3x^6 = 3y^3 una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

\ln(9x-4y) + 3x^6 = 3y^3

\Rightarrow \; \dfrac{d(\ln(9x-4y) + 3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{d(\ln(9x-4y))}{dy} + \dfrac{d(3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{1}{9x-4y}\dfrac{d(9x-4y)}{dx} + \dfrac{d(3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{1}{9x-4y}\left( 9-4\dfrac{dy}{dx} \right) + 18x^5 = 9y^2\dfrac{dy}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{9}{9x-4y} - \dfrac{4}{9x-4y} \dfrac{dy}{dx} + 18x^5 = 9y^2\dfrac{dy}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} \left( - \dfrac{4}{9x-4y} - 9y^2 \right) = - \dfrac{9}{9x-4y} - 18x^5

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{- \frac{9}{9x-4y} - 18x^5 }{- \frac{4}{9x-4y} - 9y^2 }

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ \frac{9}{9x-4y} + 18x^5 }{ \frac{4}{9x-4y} + 9y^2 }

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación y' para denotar \dfrac{dy}{dx} y la notación x' para denotar \dfrac{dx}{dy}. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables. Veamos como usar esta notación en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 4

Sea 9y^4 - 2x^7 = 10 + 4\sqrt{xy} una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

9y^4 - 2x^7 = 10 + 4\sqrt{xy}

\Rightarrow \; (9y^4 - 2x^7)' = (10 + 4\sqrt{xy})'

\Rightarrow \; (9y^4)' - (2x^7)' = (10)' + (4\sqrt{xy})'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = 0 + \dfrac{4}{\sqrt{xy}}(xy)'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = \dfrac{4}{\sqrt{xy}}(1 \cdot y + x \cdot y')

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = \dfrac{4}{\sqrt{xy}} y + \dfrac{4}{\sqrt{xy}} x \cdot y'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - \dfrac{4x}{\sqrt{xy}} \cdot y' = \dfrac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6

\Rightarrow \; \left( 36y^3 - \dfrac{4x}{\sqrt{xy}} \right) y' = \dfrac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6

\Rightarrow \; y' = \dfrac{\frac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6}{36y^3 - \frac{4x}{\sqrt{xy}}}

También se puede recurrir a una variable auxiliar cuando nos topamos con una expresión engorrosa de escribir reiteradas veces.

Ejemplo 5

Sea \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20} - 8 = 10 + 6y^{11} una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dx}{dy}.

\underbrace{\text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}_\text{a} - 8 = 10 + 6y^{11}

\Rightarrow \; (a-8)' = (10 + 6y^{11})'

\Rightarrow \; (a)' - (8)' = (10)' + (6y^11)'

\Rightarrow \; a(50x^4 \cdot x'+16y + 0) - 0 = 0 + 66y^{10}

\Rightarrow \; a50x^4 \cdot x'+a16y = 66y^{10}

\Rightarrow \; 50x^4 a \cdot x' = 66y^{10} - 16y a

\Rightarrow \; x' = \dfrac{66y^{10} - 16ya}{50x^4 a }

\Rightarrow \; x' = \dfrac{66y^{10} - 16y \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}{50x^4 \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}


Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas implícitas de funciones tendremos una variable dependiente y una independiente. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.

Bosquejo de Polinomios

Si se sabe interpretar de forma correcta la información que se obtiene de las derivadas de una función se puede hacer bosquejo de un polinomio sin necesidad de extenderse mucho en los cálculos, sin embargo, definamos una serie de pasos que facilite el flujo de la información que vamos obteniendo del polinomio para poder apreciar su comportamiento general. Si P(x) un polinomio, entonces

  1. Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  2. Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  3. Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  4. Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  5. Esbozar la gráfica.

De esta forma, aunque es un proceso extenso, se observa con claridad el comportamiento de la función en cada intervalo de la recta real estudiando la función, su primera derivada y su segunda derivada. Veamos con algunos ejemplos como hacer estos bosquejos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^2 + 5x +6

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^2 + 5(0) +6 = 6

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^2 + 5x +6 = 0 \Longrightarrow (x+2)(x+3)=0

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=-2 y x=-3. Así, podemos estudiar la positividad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty).
  • Está por debajo del Eje X en el intervalo (-3,-2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 2x+5. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0, esto es,

2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2}

Entonces, el punto crítico del polinomio es x=-\frac{5}{2}. Así, podemos estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es decreciente en el intervalo (-\infty,-\frac{5}{2}),
  • Es creciente en el intervalo (-\frac{5}{2},+\infty).
  • Alcanza un mínimo local en x=-\frac{5}{2}.

Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 2. Concluyendo inmediatamente que nunca es igual a cero, entonces no tiene puntos de inflexión. Aunque la conclusión es clara, haremos una tabla de análisis de signo para ilustrar lo que ocurre.

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es convexo en todo su dominio.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P(-\frac{5}{2}) =\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{2} \right) + 6 = -\frac{1}{4} = -0.25

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Ejemplo 2

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^3 - 2(0)^2 -(0) +2 = 2

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^3 - 2x^2 -x +2 = 0

Considerando que este polinomio es de grado tres, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método de Ruffini. Entonces, consideramos sus coeficientes de la siguiente manera

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=1, x=-1 y x=2. Así, podemos factorizar el polinomio como P(x)=(x-1)(x+1)(x-2) y estudiar su positividad haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-1,1) y (2,+\infty)
  • Está por debajo del Eje X en los intervalos (-\infty,-1) y (1,2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 3x^2 - 4x -1. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0. Considerando que este polinomio es de segundo grado, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método del Discriminante.

Identificamos los coeficientes del polinomio como a=3, b=-4 y c=-1 y aplicamos la fórmula del discriminante

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{6}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.54858

x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.21525

Entonces, los puntos críticos del polinomio son x=\dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} y x=\dfrac{2 - \sqrt{7}}{3}. Así, podemos factorizar la primera derivada del polinomio como P'(x)=3\left( x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)\left( x + \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) y estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es creciente en los intervalos \left(-\infty,\frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) y \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3},+\infty\right).
  • Es decreciente en el intervalo \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3},\frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right).
  • Alcanza un máximo local en x=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}.
  • Alcanza un mínimo local en x=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}.

Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 6x-4. Calculamos los valores para los cuales P''(x)=0. Considerando que este polinomio lineal, el método que usaremos para calcular sus raíces será un simple despeje de la siguiente manera

6x-4 = 0 \Longrightarrow 6x = 4 \Longrightarrow x = \frac{4}{6} \Longrightarrow x = \frac{2}{3}

Entonces nuestro posible punto de inflexión es x=\frac{2}{3}, y estudiamos la concavidad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es cóncavo en el intervalo (-\infty,\frac{2}{3}).
  • Es convexo en el intervalo (\frac{2}{3},+\infty).
  • Alcanza un punto de inflexión en x=\frac{2}{3}.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx -0.63113
  • P\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx 2.11261
  • P\left(\frac{2}{3} \right) = \left(\frac{2}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2}{3} \right)^2 -\left(\frac{2}{3} \right) +2 \approx 0.740741

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Puntos de Inflexión.

Criterio de la Segunda Derivada

Estudiando la concavidad de una función es posible determinar si un punto crítico es un extremo local de dicha función. Intuitivamente, lo que ocurre es que al fijar un punto crítico de una función, si la función se dobla hacia abajo, entonces esta alcanza un punto máximo; por otra parte, si la función se dobla hacia arriba, entonces esta alcanza un punto mínimo.

A partir de estas observaciones podemos establecer un criterio que nos permita como determinar los máximos y mínimos de una función usando su segunda derivada. Formalmente, si x_0 es un punto crítico en un intervalo (a,b) tal que

  • f''(x_0) < 0, entonces f(x) alcanza un máximo local en x_0.
  • f''(x_0) > 0, entonces f(x) alcanza un mínimo local en x_0.

Este criterio se conoce como el criterio de la segunda derivada y será de utilidad para determinar extremos locales en el caso que trabajar con la primera derivada sea muy laborioso. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar máximos y mínimos locales usando la segunda derivada.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función f(x) = -9x^2 + 15.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=-18x, notando que -18x=0 \Rightarrow x=0. Por lo tanto x_0=0 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos f''(x)=-18 y como -18 siempre es negativo, entonces concluimos que la función f(x) = -9x^2 + 15 alcanza un máximo local en x_0=0.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función f(x) = \textit{\Large e}^{x^2}.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=2x\textit{\Large e}^{x^2}, notando que 2x\textit{\Large e}^{x^2}=0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0. Por lo tanto x_0=0 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos f''(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1) y como la expresión 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1) siempre es positiva, entonces concluimos que la función f(x) = \textit{\Large e}^{x^2} alcanza un mínimo local en x_0=0.

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función f(x) = \frac{x^3}{3} - 6x^2.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=x^2 - 12x=x(x-12), notando que x(x-12)=0 si x = 0 o x=12. Por lo tanto x_1= 0 o x_2=12 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de f(x) y obtenemos que f''(x) = 2x-12. Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.

  • f''(0) = 2(0) - 12 = -12 < 0, entonces f(x) alcanza un máximo local en x_1=0.
  • f''(12) = 2(12) - 12 = 12 > 0, entonces f(x) alcanza un mínimo en x_2=12.

Concavidad

Al estudiar el comportamiento de una función, más allá de determinar como crece o decrece, también es importante determinar la forma en que esta crece, particularmente la forma en que se dobla, esto lo haremos comparando la función la recta que uno cualquiera de sus puntos.

Funciones convexas

Definimos una función convexa (cóncava hacia arriba) como una función que siempre está por debajo las rectas que unen cualesquiera dos puntos de ella. Formalmente, diremos que una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo (a,b) si para todo x_1,x_2 \in (a,b)

f(x) < \left( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} \right) (x-x_1)+f(x_1) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1} < \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}

Definidas de esta forma, podemos notar además, que las funciones convexas siempre estarán por encima de cualquier recta tangente a la curva que definen. Formalmente, si x_0 es un punto del intervalo (a,b), entonces

f(x) \geq f'(x)(x-x_0) - f(x_0) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq f'(x)

Es notable que la pendiente de las rectas tangentes a las funciones convexas tienen una tendencia creciente, al menos en el gráfico que hemos expuesto se puede observar con claridad que a medida que crece el valor de x, estas pendientes pasan de ser negativas (inclinadas hacia abajo) a ser positivas (inclinadas hacia arriba).

Funciones cóncavas

Definimos una función cóncava (cóncava hacia abajo) como una función que siempre está por encima las rectas que unen cualesquiera dos puntos de ella. Formalmente, diremos que una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo (a,b) si para todo x_1,x_2 \in (a,b)

f(x) > \left( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} \right) (x-x_1)+f(x_1) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1} > \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}

Definidas de esta forma, podemos notar además, que las funciones cóncavas siempre estarán por debajo de cualquier recta tangente a la curva que definen. Formalmente, si x_0 es un punto del intervalo (a,b), entonces

f(x) \geq f'(x)(x-x_0) - f(x_0) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq f'(x)

Es notable que la pendiente de las rectas tangentes a las funciones cóncavas tienen una tendencia decreciente, al menos en el gráfico que hemos expuesto se puede observar con claridad que a medida que crece el valor de x, estas pendientes pasan de ser positivas (inclinadas hacia arriba) a ser negativas (inclinadas hacia abajo).

Criterio de Concavidad

Si una función es convexa, entonces las pendientes de las rectas tangentes tienen una tendencia creciente, es decir, la función f'(x) es creciente. De igual forma, si una función es cóncava, entonces las pendientes de las rectas tangentes tienen una tendencia decreciente, es decir, la función f'(x) es decreciente.

Estas caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre la concavidad de una función de la siguiente forma: Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b), si para todo x \in (a,b)

  • f''(x) > 0, entonces f(x) es convexa.
  • f''(x) < 0, entonces f(x) es cóncava.

Esto se debe a que si la segunda derivada de una función es positiva, eso implica que la primera derivada es creciente y así, la función es convexa. Por otra parte, si la segunda derivada de una función es negativa, eso implica que la primera derivada es decreciente y así, la función es cóncava. Sin embargo, encontramos puntos en los que la función deja de ser convexa para ser cóncava o; deja de ser cóncava para empezar a ser convexa, entonces nos preguntamos, ¿qué ocurre en estos puntos?

Puntos de Inflexión

Los puntos en el que una función cambia de concavidad, serán llamados puntos de inflexión y estarán íntimamente relacionados con la segunda derivada de la función pues en estos puntos, la derivada de la función no es creciente ni decreciente. Los candidatos perfectos son los puntos x_0 tales que f''(x_0) = 0.

Sin embargo, son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa. Para esto, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto en cuestión. Formalmente, x_0 es un punto de inflexión de f(x) en un intervalo (a,b) si para todo x \in (a,b)

  • f''(x) > 0 cuando x < x_0 y f''(x) < 0 cuando x > x_0.
  • f''(x) < 0 cuando x < x_0 y f''(x) > 0 cuando x > x_0.

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar concavidad de una función usando la segunda derivada.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine la concavidad de la función f(x) = 3x^2 - 5 en todo su dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que $f”(x) = 6$. Notamos inmediatamente que f'(x) = 6 > 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de concavidad, concluimos que la función es convexa en todo su dominio.

Ejemplo 2

Determine la concavidad de la función f(x) = -\frac{10}{x^4} en el intervalo (3,10).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que $f'(x) = -\frac{200}{x^6}$. Notamos inmediatamente que 200 es un número positivo y la expresión x^6 siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) = -\frac{200}{x^2} < 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de concavidad, concluimos que la función es cóncava en el intervalo (3,10), e incluso podemos afirmar que es cóncava en todo su dominio.

Ejemplo 3

Determine la concavidad de la función f(x) = \textit{\Large e}^{x^2} en el intervalo (-5,12).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que f''(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1). Notamos inmediatamente que la expresión 2x^2+1 siempre es un número positivo y la expresión 2\textit{\Large e}^{x^2} siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1)> 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de concavidad, concluimos que la función es convexa en el intervalo (-5,12), e incluso podemos afirmar que es convexa en todo su dominio.

Ejemplo 4

Determine la concavidad de la función f(x) = \frac{x^3}{3} - 6x^2 en su todo dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que $f”(x) = 2x-12$. Nos preguntamos, ¿esta expresión es positiva o es negativa? La respuesta depende del valor de x, es por esto que tenemos que segmentar nuestra respuesta.

f'(x) < 0 si x<6, entonces f(x) es cóncava si x \in (-\infty,6). f'(x) > 0 si x>6, entonces f(x) es convexa si x \in (6,+\infty).

Notemos que la solución se parte en el punto donde la derivada de la función es igual a cero.

Ejemplo 5

Determine la concavidad de la función f(x) = -\frac{7x^4}{12} + \frac{28x^2}{2} - 5\frac{x}{2} + 11 latex en su todo dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty). Considerando que esta función requiere un poco más de esfuerzo, veamos como hacer esto siguiendo dos pasos.

El primer paso es calcular la segunda derivada de f(x) y calcular los puntos en que esta se anula. Entonces, f''(x) = -7x^2 + 14 = -7(x-2)(x+2) y esta función se anula cuando -7(x-2)(x+2). Así que x_1 = 2 y x_2 = -2 son los candidatos a ser puntos de inflexión de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la segunda derivada para determinar la concavidad de la función, para esto usamos la tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función f(x)=-\frac{7x^4}{12} + \frac{28x^2}{2} - 5\frac{x}{2} + 11 es cóncava en los intervalos (-\infty,-2) y (-2,+\infty); y es convexa en el intervalo (-2,2), por lo tanto f(x) alcanza puntos de inflexión en x_1=-2 y x_2=2.


“Cóncavo y Convexo” de Roberto Carlos