Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso $I(q)$ , Costo $C(q)$ y Utilidad $U(q)$ ; definamos cuales son los valores de $q$ para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

$I(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $I(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
$C(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $C(q_0)$ es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
$U(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $U(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de $q$ lavadoras, definidas de la siguiente forma:

$C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3$

$I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2$

$U(q) = I(q) - C(q)$

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo $[0,20]$ . Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ , para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de costos $C'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos $C''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0$

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626$

$C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92$

En vista de que $C(0)$ es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en $q=0$ , es decir, los costos más bajos son de $C(0) = 0.4626$ que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q$

La derivada de la función de ingresos $I'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$I''(q) = \frac{72}{13}$

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos $I''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$I''(0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82$

$I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52$

En vista de que $I(20)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en $q=20$ , es decir, los ingresos más altos son de $I(20) = 1112.52$ que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de utilidades $U'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ o cuando $q=4.68$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades $U''(q)$ en $q=0$ y en $q=4.68$ , obtenemos que

$U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ .

$U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337$

Al ser $-5.5337$ un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en $q=4.68$ . Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

$U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60$

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574$

$U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4$

En vista de que $U(4.68)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en $q=4.68$ , es decir, las utilidades más altas son de $U(4.68) = 24.60$ que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.

Un comentario en “Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad”

Matemáticas 21 – Sección 01 – Semestre B2021 – totumat dice:

09.12.2021 a las 9:56 pm

[…] Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad […]

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