Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso I(q), Costo C(q) y Utilidad U(q); definamos cuales son los valores de q para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

  • I(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor I(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
  • C(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor C(q_0) es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
  • U(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor U(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de q lavadoras, definidas de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

U(q) = I(q) - C(q)

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo [0,20]. Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo [0,20], para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de costos C'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos C''(q) en q=0 y obtenemos que

C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626

C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92

En vista de que C(0) es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en q=0, es decir, los costos más bajos son de C(0) = 0.4626 que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q

La derivada de la función de ingresos I'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

I''(q) = \frac{72}{13}

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos I''(q) en q=0 y obtenemos que

I''(0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82

I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52

En vista de que I(20) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en q=20, es decir, los ingresos más altos son de I(20) = 1112.52 que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de utilidades U'(q) es igual a cero cuando q=0 o cuando q=4.68, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades U''(q) en q=0 y en q=4.68, obtenemos que

U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0.

U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337

Al ser -5.5337 un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en q=4.68. Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574

U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4

En vista de que U(4.68) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en q=4.68, es decir, las utilidades más altas son de U(4.68) = 24.60 que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.


Un comentario en “Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

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