Criterio de la Segunda Derivada

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso $I(q)$ , Costo $C(q)$ y Utilidad $U(q)$ ; definamos cuales son los valores de $q$ para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

$I(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $I(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
$C(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $C(q_0)$ es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
$U(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $U(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de $q$ lavadoras, definidas de la siguiente forma:

$C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3$

$I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2$

$U(q) = I(q) - C(q)$

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo $[0,20]$ . Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ , para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de costos $C'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos $C''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0$

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626$

$C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92$

En vista de que $C(0)$ es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en $q=0$ , es decir, los costos más bajos son de $C(0) = 0.4626$ que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q$

La derivada de la función de ingresos $I'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$I''(q) = \frac{72}{13}$

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos $I''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$I''(0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82$

$I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52$

En vista de que $I(20)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en $q=20$ , es decir, los ingresos más altos son de $I(20) = 1112.52$ que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de utilidades $U'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ o cuando $q=4.68$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades $U''(q)$ en $q=0$ y en $q=4.68$ , obtenemos que

$U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ .

$U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337$

Al ser $-5.5337$ un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en $q=4.68$ . Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

$U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60$

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574$

$U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4$

En vista de que $U(4.68)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en $q=4.68$ , es decir, las utilidades más altas son de $U(4.68) = 24.60$ que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.

Estudiando la concavidad de una función es posible determinar si un punto crítico es un extremo local de dicha función. Intuitivamente, lo que ocurre es que al fijar un punto crítico de una función, si la función se dobla hacia abajo, entonces esta alcanza un punto máximo; por otra parte, si la función se dobla hacia arriba, entonces esta alcanza un punto mínimo.

A partir de estas observaciones podemos establecer un criterio que nos permita como determinar los máximos y mínimos de una función usando su segunda derivada. Formalmente, si $x_0$ es un punto crítico en un intervalo $(a,b)$ tal que

$f''(x_0) < 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un máximo local en $x_0$ .
$f''(x_0) > 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un mínimo local en $x_0$ .

Este criterio se conoce como el criterio de la segunda derivada y será de utilidad para determinar extremos locales en el caso que trabajar con la primera derivada sea muy laborioso. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar máximos y mínimos locales usando la segunda derivada.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función $f(x) = -9x^2 + 15$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=-18x$ , notando que $-18x=0 \Rightarrow x=0$ . Por lo tanto $x_0=0$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos $f''(x)=-18$ y como $-18$ siempre es negativo, entonces concluimos que la función $f(x) = -9x^2 + 15$ alcanza un máximo local en $x_0=0$ .

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función $f(x) = \textit{\Large e}^{x^2}$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=2x\textit{\Large e}^{x^2}$ , notando que $2x\textit{\Large e}^{x^2}=0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0$ . Por lo tanto $x_0=0$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos $f''(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1)$ y como la expresión $2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1)$ siempre es positiva, entonces concluimos que la función $f(x) = \textit{\Large e}^{x^2}$ alcanza un mínimo local en $x_0=0$ .

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Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función $f(x) = \frac{x^3}{3} - 6x^2$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=x^2 - 12x=x(x-12)$ , notando que $x(x-12)=0$ si $x = 0$ o $x=12$ . Por lo tanto $x_1= 0$ o $x_2=12$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de $f(x)$ y obtenemos que $f''(x) = 2x-12$ . Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.

$f''(0) = 2(0) - 12 = -12 < 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un máximo local en $x_1=0$ .
$f''(12) = 2(12) - 12 = 12 > 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un mínimo en $x_2=12$ .

Ejemplo 4 (Sugerido por una usuaria de totumat)

Determine los extremos locales de la función $f(x) = 4x-x^4$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=4-4x^3$ , notando que

$4-4x^3=0$ si $x = 1$ .

Por lo tanto $x_1= 1$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de $f(x)$ y obtenemos que $f''(x) = -12x^2$ . Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.

$f''(1) = -12(1)^2 = -12 < 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un máximo local en $x_1=1$ .

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