Las mejores calculadoras online | totumat.com review

The best online calculators in 2020

When studying subjects that require complicated calculations, there is nothing better than having a good calculator. Although having a calculator in physical is very comfortable, it is not always accessible, which is why we must resort to online options, either surfing the web or as applications for the phone.

My recommendation for my students is to always study accompanied by a calculator, so they can check if they are doing the necessary calculations correctly.

Let’s see then, a list without a particular order (just kidding, they are ordered from the best to the worst) of the best calculators that we can get browsing the internet or in the store of applications of different operating systems.

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Wolfram Alpha

With no doubt, Wolfran Alpha is the king of online calculators because its calculations are not only based on algorithms as traditional calculators do, but on innovative algorithms, knowledge base and artificial intelligence technology.

Nota: According to Atlassian, A knowledge base is a self-serve online library of information about a product, service, department, or topic. The data in your knowledge base can come from anywhere. Typically, contributors who are well versed in the relevant subjects add to and expand the knowledge base.

Performing a calculation in Wolfram Alpha not only provides the solution to the calculation, but also provides additional information usually needed when performing calculations. You can see the entire development step by step to reach the final result by paying a subscription, but it is not mandatory if you only want results.

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Wolfram Alpha is available for free at wolframalpha.com and for a fee at iOS, Android and Microsoft.

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Calculator N+

My daily use calculator is the Android Calculator N+ application. It is an open source calculator, developed by Trần Lê Duy who, according to his github profile, is a student at Nguyen Binh Khiem High School who loves to study algorithms.

Note: open source commonly refers to software that uses an open development process and is licensed to include source code.

This calculator provides results only, without procedures, but the amount of functions that can be applied is immense. I think the only defect it has (for now), is that it does not have a function finder in the home screen calculator.

In addition to the home screen calculator, this application has specific calculators to work with Equations, Derivatives, Integrals and Matrices, among others; this is what extends its versatility and comfort.

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Calculator N+ is only available for Android, however, being open source, it can be built from your code following the instructions in GitHub.

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GeoGebra

GeoGebra is a multifunctional platform of didactic support that deserves a whole article to be able to expose everything it offers, however, this time we will only focus on the calculator it provides.

The strength of GeoGebra lies in the graphical representations of Functions, Equations and Inequations, or generally, the interaction between two variables (although its application for 3D graphics generalizes these aspects), however, it also allows the calculation of derivatives and integrals.

Graphic representations can be customized to clearly illustrate which elements are involved in the calculations being performed.

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The full range of applications provided by GeoGebra is available at GeoGebra.com, iOS and Android.

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Mathway

Mathway is a calculator with a simple but very versatile interface when making calculations, because as Wolfram Alpha, it is based on innovative algorithms and artificial intelligence.

Although you can use the buttons of the application to make the calculations, you can set the instructions and obtain the results.

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Like Wolfram Alpha, you can see the complete development step by step to reach the final result paying a subscription, but it is not mandatory if we only want results.

Mathway is available at Mathway.com, iOS and Android.

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Symbolab

Symbolab is the son of Wolfram Alpha and Mathway, haha, because it provides similar functionalities to both calculators and its interface also a mixture of both (but with more ads), however, it is equally comfortable to use.

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Like Wolfram Alpha, you can see the complete development step by step to reach the final result paying a subscription, but it is not mandatory if we only want results.

Symbolab is available at symbolab.com, iOS and Android.


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Las mejores calculadoras online en 2020

Cuando se estudian asignaturas que requieren de cálculos complicados, nada mejor que contar con una buena calculadora. Si bien tener una calculadora en físico resulta muy cómodo, no siempre se cuenta con acceso a ellas, es por esto que debemos recurrir a opciones online, ya sean surfeando en la web o como aplicaciones para el teléfono.

Mi recomendación para mis alumnos es que siempre estudien acompañados de una calculadora, para que verifiquen si están haciendo correctamente los cálculos necesarios.

Veamos entonces, una lista sin un orden particular (falso, están ordenadas desde la mejor hasta la peor) de las mejores calculadoras que podemos conseguir navegando por internet o en la tienda de aplicaciones de distintos sistemas operativos.

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Wolfram Alpha

Sin duda alguna, Wolfran Alpha es el rey de las calculadoras online pues sus cálculos no se basan únicamente en algoritmos tal como lo hacen las calculadoras tradicionales, si no en algoritmos innovadores, base de conocimientos y tecnología de inteligencia artificial.

Nota: De acuerdo con Atlassian, una base de conocimientos es una biblioteca en línea de autoservicio de información sobre un producto, servicio, departamento o tema. Los datos de su base de conocimientos pueden provenir de cualquier lugar. Por lo general, los colaboradores que están bien versados en los temas relevantes agregan y amplían la base de conocimientos.

Al efectuar un cálculo en Wolfram Alpha, no sólo se provee la solución del mismo sino que además, provee información adicional que usualmente se necesita cuando se efectúan cálculos. Se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

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Wolfram Alpha está disponible gratuitamente en wolframalpha.com y pagando, en iOS, Android y Microsoft.

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Calculator N+

Mi calculadora de uso diario es la aplicación para Android Calculator N+. Es una calculadora open source, desarrollada por Trần Lê Duy que según su perfil de github, es un estudiante de la escuela secundaria Nguyen Binh Khiem que ama estudiar algoritmos.

Nota: open source comúnmente se refiere al software que utiliza un proceso de desarrollo abierto y tiene licencia para incluir el código fuente.

Esta calculadora provee resultados únicamente, sin procedimientos, pero la cantidad de funciones que se pueden aplicar es inmensa. Creo que el único defecto que tiene (por ahora), es que no tiene un buscador de funciones en la calculadora de la pantalla de inicio.

Además de la calculadora de la pantalla de inicio, esta aplicación cuenta con calculadoras específicas para trabajar con Ecuaciones, Derivadas, Integrales y Matrices, entre otras; esto es lo que amplía su versatilidad y comodidad.

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Calculator N+ está disponible únicamente para Android, sin embargo, al ser open source, puede ser construida desde su código siguiendo las instrucciones en GitHub.

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GeoGebra

GeoGebra es una plataforma multifuncional de apoyo didáctico que merece un artículo entero para poder exponer todo lo que ofrece, sin embargo, en esta ocasión sólo nos enfocaremos en la calculadora que provee.

El fuerte de GeoGebra radica en las representaciones gráficas de Funciones, Ecuaciones e Inecuaciones, o de forma general, la interacción entre dos variables (aunque su aplicación para gráficos en 3D generaliza estos aspectos), sin embargo, también permite el cálculo de derivadas e integrales.

Las representaciones gráficas se pueden pueden personalizar para ilustrar con claridad cuáles son los elementos involucrados en los cálculos que se están efectuando.

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Toda la gama de aplicaciones que provee GeoGebra está disponible en GeoGebra.com, iOS y Android.

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Mathway

Mathway es una calculadora con una interfaz sencilla pero muy versátil a la hora de hacer cálculos, pues al igual que Wolfram Alpha, se basa en algoritmos innovadores e inteligencia artificial.

Si bien se pueden utilizar los botones de la aplicación para efectuar los cálculos, se puede indicar las instrucción (en inglés o español) y posteriormente obtener los resultados.

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Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Mathway está disponible en Mathway.com, iOS y Android.

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Symbolab

Symbolab es el hijo de Wolfram Alpha y Mathway, jaja, pues provee funcionalidades parecidas a ambas calculadoras y su interfaz también una mezcla de ambas (pero con más publicidad), sin embargo, es igual cómoda de usar.

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Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Symbolab está disponible en symbolab.com, iOS y Android.


Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

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Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz A adosando la matriz de términos independientes C a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{3}{16}, y = \frac{43}{48}.

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{1}{17}, y = -\frac{94}{85}.

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = \frac{111}{85}, y = \frac{22}{17}, z = -\frac{16}{85}.

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{50}{169}, y = \frac{32}{169}, z = -\frac{85}{169}.


Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Cálculo de Matriz Inversa – Gauss-Jordan

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz A adosando la matriz identidad a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos algunos ejemplos para entender como se calcula la matriz inversa desarrollando este procedimiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 2

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 3

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

Cálculo de Matriz Inversa Gauss-Jordan | totumat.com

Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 4

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

Cálculo de Matriz Inversa Gauss-Jordan | totumat.com

Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?

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Matriz escalonada reducida

Diremos que una matriz A de tamaño m \times n es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:

  • Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij}=0 para todo i, entonces, a_{kj}=0 para todo i, donde j \leq k \leq m.
  • Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ij} = 1
  • Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que

    Si las filas i y j son distintas de cero tales que i < j y; a_{ip} y a_{jq} son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces p < q.
  • Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ih} = 0 para todo h \neq j.

    Al elemento a_{ij} = 1 se le conoce como el uno principal de la fila.

Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz de tamaño 2 \times 2 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 2

La matriz de tamaño 3 \times 3 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz identidad | totumat.com

Ejemplo 3

La matriz de tamaño 3 \times 4 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 4

La matriz de tamaño 4 \times 5 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.

Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Dividimos la fila 1 por -1

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Restamos la fila 1 multiplicada por 4 a la fila 2

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Dividimos la fila 2 por -8

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por 2 a la fila 1 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 6

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Dividimos la fila 1 por -3

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Restamos la fila 1 multiplicada por -6 a la fila 2

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Restamos la fila 1 multiplicada por -3 a la fila 3

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Intercambiamos la fila 2 por la fila 3

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Dividimos la fila 2 por -7

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Dividimos la fila 3 por 11

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Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{4}{3} a la fila 1

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Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{8}{7} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 7

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 4. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Dividimos la fila 1 por -1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -2 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -8 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 2 por -16

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Restamos la fila 2 multiplicada por -5 a la fila 1

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Restamos la fila 2 multiplicada por -48 a la fila 3

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Dividimos la fila 3 por -6

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Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{13}{16} a la fila 1

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Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{23}{16} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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