Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables

Consideraremos ecuaciones que se caracterizan porque podemos separar las variables, es decir, que se pueden dejar todas las expresiones que involucran una variable de un lado de la ecuación y a todas las expresiones que involucran la otra variable del otro lado de la ecuación.

Formalmente, diremos que una ecuación diferencial es de variables separables si se expresa de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos la técnica para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación y-y'=0, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

y - \frac{dy}{dx} = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} = y

\Rightarrow \; dy = y \ dx

\Rightarrow \; \frac{dy}{y} = dx

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\int \frac{dy}{y} = \int dx

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\ln(y) = x + C

\Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{x + C}

\Rightarrow \; y = \textit{\Large e}^x\textit{\Large e}^C

\Rightarrow \; y = C \textit{\Large e}^x

En este último paso, al ser \textit{\Large e}^C una constante real, la reescribimos como C para facilitar su escritura.

Observación: No hemos considerado el valor absoluto en el logaritmo al calcular la integral de \frac{1}{y} pues recordando que y debe estar definida en el mayor intervalo que la contenga, consideramos convenientemente un intervalo en el que podemos prescindir del valor absoluto.

Ejemplo 2

Consideremos la ecuación 2x^6y' + 9x^8y^4 = 0, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

2x^6\frac{dy}{dx} + 9x^8y^4 = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

2x^6\frac{dy}{dx} + 9x^8y^4 = 0

\Rightarrow \; 2x^6\frac{dy}{dx} = -9x^8y^4

\Rightarrow \; 2x^6dy = -9x^8y^4dx

\Rightarrow \; \frac{dy}{y^4} = \frac{-9x^8dx}{2x^6}

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\int \frac{dy}{y^4} = \int -\frac{9x^2dx}{2}

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\Rightarrow \; -\frac{1}{3y^3} = -\frac{9}{6} x^3 + C

\Rightarrow \; \frac{1}{3y^3} = \frac{3}{2} x^3 + C

\Rightarrow \; 3y^3 = \frac{1}{\frac{3}{2} x^3 + C}

\Rightarrow \; y^3 = \frac{1}{3\frac{3}{2} x^3 + C}

\Rightarrow \; y = \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{9}{2} x^3 + C}}

Ejemplo 3

Consideremos la ecuación y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 con valor inicial y(0)=3, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

\frac{dy}{dx} - x \textit{\Large e}^{x} = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} = x \textit{\Large e}^{x} \; \Rightarrow \; dy = x \textit{\Large e}^{x} \ dx

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\int dy = \int x \textit{\Large e}^{x} \ dx

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores x=0 y y=3 en la solución general para posteriormente despejar C

y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C

\Rightarrow \; 3 = 0 \cdot \textit{\Large e}^{0} - \textit{\Large e}^{0} + C

\Rightarrow \; 3 = 0 - 1 + C

\Rightarrow \; 3 + 1 = C

\Rightarrow \; C = 4

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial y(0)=3 es

y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 4

Ejemplo 4

Consideremos la ecuación 3xy' - 5y = 0 con valor inicial y(1)=2, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

3x\frac{dy}{dx} - 5y = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

3x\frac{dy}{dx} = 5y

\Rightarrow \; 3x \ dy = 5y \ dx

\Rightarrow \; \frac{dy}{y} = \frac{5dx}{3x}

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\int \frac{dy}{y} = \int \frac{5dx}{3x}

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\ln(y) = \frac{5}{3} \ln(x) + C

\Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{\frac{5}{3} \ln(x) + C}

\Rightarrow \; y = C x^{\frac{5}{3}}

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores x=1 y y=2 en la solución general para posteriormente despejar C

y = C x^{\frac{5}{3}}

\Rightarrow \; 2 = C 1^{\frac{5}{3}}

\Rightarrow \; 2 = C

\Rightarrow \; C = 2

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial y(1)=2 es

y = 2 x^{\frac{5}{3}}


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

El conjunto de todas las ecuaciones diferenciales es bastante amplio, es por esto que empezaremos su estudio desarrollando algunas de las técnicas para calcular la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, así que empecemos por definir este tipo de ecuaciones. Formalmente diremos que este tipo de ecuaciones se expresa de la siguiente forma

F(x,y,y')=0

Antes de abordar las técnicas básicas para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, veamos algunos ejemplos para aprender a identificarlas.

Ejemplos

Ejemplo 1

La ecuación diferencial y-y'=0 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 2

La ecuación diferencial 2x^6y' + 9x^8y^4 = 0 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 3

La ecuación diferencial 5y' - 20y = 30 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 4

La ecuación diferencial 2x^2y' + 4xy = 7x^4 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 5

La ecuación diferencial 6 y' \textit{\Large e}^{x} - 8y = \textit{\Large e}^{2x} involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.


Ecuaciones Diferenciales

Definición

Definimos una ecuación diferencial como una expresión matemática que establece una relación entre una o más variables independientes; una o más variables dependientes; y las derivadas de estas variables dependientes a través de una igualdad. Para simplificar, empezaremos considerando una variable independiente x y una variable que dependiente y, entonces de forma general, diremos que

F \left( x,y,y',y'', \dots ,y^{(n)} \right)=0

es una ecuación diferencial y de forma particular, si consideramos la siguiente relación

y - y' = 0

diremos que ésta es una ecuación diferencial.

Nuestro propósito será el de determinar qué función y es la que satisface esta igualdad y en este ejemplo, a simple vista podemos notar que y=\textit{\Large e}^x es una solución de esta ecuación diferencial pues \textit{\Large e}^x - \left( \textit{\Large e}^x \right)' = 0. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de distintas ecuaciones diferenciales y para esto debemos clasificarlas.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de tres formas: Por tipo, por orden y por linealidad.

Por tipo: Si la ecuación diferencial incolucra derivadas respecto a sólo una variable independiente, diremos que la ecuación diferencial es ordinaria. En otro caso, diremos que es una ecuación diferencial parcial.

Por linealidad: Una ecuación diferencial es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente y sus derivadas.

Por orden: El orden de una ecuación diferencial viene dada por la derivada de mayor orden que se encuentre involucrada en ésta.

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial y - y' = 0 , entonces

  • Es ordinaria pues si tomamos y'=\frac{dy}{dx}, notamos que ésta sólo involucra la derivada de sólo una variable independiente.
  • Es lineal ya que el exponente de y y y' es exactamente igual a uno.
  • Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de primer orden.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial 3xy''' + 2x^4y^3 = 6x^3 , entonces

  • Es ordinaria pues ésta sólo involucra una variable independiente.
  • No es lineal ya que la variable dependiente y está elevada al cubo.
  • Es de tercer orden porque la derivada de mayor orden es de tercer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria no lineal de primer orden.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial 5 \frac{\partial y}{\partial x } + 9 \frac{\partial y}{\partial z } = 6x^3y - 7z^5, entonces

  • Es parcial pues ésta involucra las derivadas respecto a más de una variable independiente.
  • Es lineal ya que el exponente de y, \frac{\partial y}{\partial x } y \frac{\partial y}{\partial z } es exactamente igual a uno.
  • Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Parcial lineal de primer orden.


Nota: Todas las ecuaciones diferenciales que consideraremos mientras estudiemos los aspectos básicos, serán Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, es por esto que siempre consideraremos y' = \frac{dy}{dx}, salvo que se indique otra variable dependiente u otra variable independiente.


Solución de una Ecuación Diferencial

Si consideramos la ecuación diferencial

F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0

Diremos que una función y_0 definida en un intervalo I con n derivadas continuas en el intervalo I es la solución de esta ecuación diferencial de n-ésimo orden, si esta satisface la igualdad planteada, es decir, tal que

F \left( x,y_0,y_0',y_0'', \ldots ,y_0^{(n)} \right)=0

Consideremos algunos ejemplos para que ilustrar esta idea con mayor claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y - y' = 0

La función y_0 = \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial, pues

\textit{\Large e}^{x} - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' = \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que y_0 no es la única solución, si consideramos y_1 = 3 \textit{\Large e}^{x}, esta también es una solución particular, ya que

3\textit{\Large e}^{x} - \left( 3\textit{\Large e}^{x} \right)' = 3\textit{\Large e}^{x} - 3\textit{\Large e}^{x} = 0

De forma general, si consideramos y = C \cdot \textit{\Large e}^{x} para cualquier constante real C diremos que este tipo de solución es una solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' - 2y = 0

La función y_0 = x^2 es una solución de esta ecuación diferencial, pues

x(x^2)' - 2(x^2) = x(2x) - 2x^2 = x^2 - x^2 = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que y_0 no es la única solución, si consideramosy_1 = -5x^2, esta también es una solución particular, ya que

x(-5x^2)' - 2(-5x^2) = x(-10x) +10x^2 = -10x^2 + 10x^2 = 0

De forma general, si consideramos y = C \cdot x^2 para cualquier constante real C diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0.

La función y_0 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial, pues

\left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que y_0 no es la única solución, si consideramos y_1 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1, esta también es una solución particular, ya que

\left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1 \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0

De forma general, si consideramos x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C para cualquier constante real Cdiremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' + y = 0

La función y_0 = \frac{1}{x} es una solución de esta, pues

x\left( \frac{1}{x} \right)' + \frac{1}{x} = x\left(-\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que la pena notar que y_0 no es la única solución, si consideramos y_1 = \frac{2}{x}, esta también es una solución particular, ya que

x\left( \frac{2}{x} \right)' + \frac{2}{x} = x\left( -\frac{2}{x^2} \right) + \frac{2}{x} = - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} = 0

De forma general, si consideramos \frac{C}{x} para cualquier constante real Cdiremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.


Tomando en cuenta los ejemplos expuestos, las soluciones de los primeros ejemplos están definidas para todos los números reales, sin embargo, esto no ocurre al considerar las soluciones de xy' + y = 0 pues particularmente, la función y_0 = \frac{1}{x} no está definida cuando x=0. En este último caso, los intervalos (-\infty,0) y (0,+\infty) son los intervalos más grandes donde la solución está definida.

Entonces, es importante mencionar que al calcular la solución de una ecuación diferencial, por definición, esta debe estar definida en intervalos, es por esto que siempre consideraremos el mayor intervalo donde la solución y sus derivadas están definidas.


Problemas de Valor Inicial

Hay ecuaciones diferenciales cuya solución está condicionada sobre un punto, este tipo de condiciones es llamado problemas de condición inicial. Formalmente, diremos que la ecuación diferencial tiene un problema de valor inicial si la solución debe cumplir con la condición y(x_0) = y_0. Sin embargo, ¿cómo sabemos que en efecto podemos encontrar la solución de una ecuación que cumpla con esa condición? A continuación veremos un teorema que nos permitirá determinar si una ecuación diferencial con un problema de valor inicial tiene solución.

Teorema (de Existencia y Unicidad)

Considerando una ecuación diferencial de la forma \frac{dy}{dx} = f(x,y) y R una región rectangular en el plano XY que contiene al punto (x_0,y_0) en su interior, definida por

a \leq x \leq b \ \text{ y } \ c \leq y \leq d

Si f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en la región R, entonces existe un intervalo I_0 centrado en x_0 contenido en [a,b] y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución del problema de valor inicia y(x_0) = y_0.

Las ecuaciones diferenciales que consideraremos de aquí en adelante cumplirán con las condiciones del Teorema de Existencia y Unicidad salvo que se diga lo contrario, sin embargo, siempre es importante verificar que se cumplan las condiciones antes de empezar a calcular la solución de una ecuación diferencial.

Ejemplos

Ejemplo 5

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y - y' = 0 con problema de valor inicial y(0)=1, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

y' = y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = y \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 1

Así, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY, existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 0 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(0) = 1.

Particularmente la función y = \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(0) = \textit{\Large e}^{0} = 1

Ejemplo 6

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' - 2y = 0 con problema de valor inicial y(2)=4, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

xy' - 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = \frac{2y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{x}

Así, considerando que x_0=2, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY tal que 0 < x < b (b > 2), existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 2 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(2) = 4.

Particularmente la función y = x^2 es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(2) = (2)^2 = 4

Ejemplo 7

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 con problema de valor inicial y(1)=0, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = x \textit{\Large e}^{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 0

Así, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY, existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 1 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(1) = 0.

Particularmente la función y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(0) = (1) \textit{\Large e}^{1} - \textit{\Large e}^{1} = 0

Ejemplo 8

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' + y = 0 con problema de valor inicial y(1)=1, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

xy' + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = -\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{x}

Así, considerando que x_0=1, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY tal que 0 < x < b (b > 1), existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 1 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(1) = 1.

Particularmente la función y = \frac{1}{x} es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(1) = \frac{1}{1} = 1


Interés Compuesto

Una vez que una persona ha depositado un monto de dinero en un banco, definimos una tasa de interés como un porcentaje del monto y que el banco retribuirá a la persona cada cierto periodo de tiempo. Formalmente, si una persona invierte un capital P en un banco que ofrece una tasa de interés del r por ciento, entonces, definimos el interés sobre este monto de la siguiente forma

I = P \cdot \frac{r}{100}

Al estudiar el interés simple, hemos calculado los intereses con base en el capital inicial que se ha depositado en la cuenta, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones los intereses se calculan con base en el capital acumulado actualmente, a este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, de forma que si el capital inicial es igual a P_1, entonces tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, esta persona ha acumulado un capital de

P_1

Durante el transcurso del \textbf{segundo periodo}, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{2} = P_{1} + P_{1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{1} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{3} = P_{2} + P_{2} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{2} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{3} + P_{3} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{3} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{n-1} + P_{n-1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{n-1} como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que durante el transcurso del n-ésimo periodo, el capital acumulado está dado por

Notando entonces el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica creciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de interés compuesto, al valor P_1 se le conoce como capital inicial y a r se le conoce como la tasa interés. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 6010 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 28.572 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 10.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 6010 \cdot \left(1 + \frac{ 28.572 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 57702.16

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 10 es de 57702.16 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 9442 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 11.917 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 7.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 9442 \cdot \left(1 + \frac{ 11.917 }{ 100 } \right)^{ 7 -1} = 18554.12

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 7 es de 18554.12 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 6095 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 41.829 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 2.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 6095 \cdot \left(1 + \frac{ 41.829 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 8644.48

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 2 es de 8644.48 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 9778 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 48.981 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 3.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 9778 \cdot \left(1 + \frac{ 48.981 }{ 100 } \right)^{ 3 -1} = 21702.6

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 3 es de 21702.6 Ps.


Determinar la fórmula general de interés compuesto

Considerando que la fórmula interés compuesto está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el capital acumulado durante el transcurso de dos años distintos, digamos P_i = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)} y P_j = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}, podemos determinar los valores de P_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de interés compuesto usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{3} = 6222 durante el transcurso del año 3 y P_{16} = 6609 durante el transcurso del año 16. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-13)} = \frac{2074}{2203}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-13} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{980033331}{158980} \approx 6164.51 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{239661}{515134} \approx 0.47 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{980033331}{158980} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{239661}{515134}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 6

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{5} = 4215 durante el transcurso del año 5 y P_{7} = 7212 durante el transcurso del año 7. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{1405}{2404}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-2} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{252311386}{175249} \approx 1439.73 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{26209889}{850793} \approx 30.81 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{252311386}{175249} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{26209889}{850793}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 7

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{18} = 3488 durante el transcurso del año 18 y P_{20} = 9727 durante el transcurso del año 20. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{3488}{9727}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-2} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{533896}{934977} \approx 0.57 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{55050488}{821721} \approx 66.99 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{533896}{934977} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{55050488}{821721}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 8

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{2} = 3435 durante el transcurso del año 2 y P_{13} = 5854 durante el transcurso del año 13. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-11)} = \frac{3435}{5854}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-11} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{3260072111}{996204} \approx 3272.49 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{4846307}{975937} \approx 4.97 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{3260072111}{996204} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{4846307}{975937}}{100}\right)^{(n-1)}


¿Cuántos periodos?

Un aspecto importante de la fórmula de interés compuesto es que nos permite proyectar inversiones en un banco pues, una vez que se ha depositado una cantidad de dinero, es posible determinar los periodos que deben transcurrir hasta acumular un capital determinado. Veamos en los siguiente ejemplos como determinar esto.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 4959 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=40.554 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 48239.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 4959 \cdot \left( 1 + \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 48239, es decir, para el cual 4959 \cdot \left( 1 - \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)} = 48239 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 48239 en aproximadamente 8 años.

Ejemplo 10

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 3115 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=38.09 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 6548.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 3115 \cdot \left( 1 + \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 6548, es decir, para el cual 3115 \cdot \left( 1 - \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)} = 6548 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 6548 en aproximadamente 3 años.

Ejemplo 11

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 5882 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=3.367 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 36886.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 5882 \cdot \left( 1 + \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 36886, es decir, para el cual 5882 \cdot \left( 1 - \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)} = 36886 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 36886 en aproximadamente 56 años.

Ejemplo 12

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 7201 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=41.714 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 50441.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 7201 \cdot \left( 1 + \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 50441, es decir, para el cual 7201 \cdot \left( 1 - \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)} = 50441 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 50441 en aproximadamente 7 años.


Ecuación Racional – Ejercicio Propuesto por un usuario

En esta ocasión, abordamos el ejercicio propuesto por el usuario de totumat, Mario Obando García en un comentario:

El ejercicio tal como está planteado no tiene solución, pues si

\frac{5}{2x} - 1 = \frac{1}{x} - 1

El -1 que está en el lado derecho de la ecuación, se cancela con el -1 que está en el lado izquierdo, de esta forma obtenemos

\frac{5}{2x} = \frac{1}{x}

Luego, el 2x que está dividiendo al 5 en el lado izquierdo de la ecuación pasa a multiplicar al lado derecho y de igual forma, la x que está dividiendo al 1 en el lado izquierdo pasa a multiplicar al lado derecho, así obtenemos

5x =2x

Y esta igualdad sólo se mantiene cuando x = 0, pero esto es imposible, porque al sustituir este valor en la ecuación original tenemos

\frac{5}{2 \cdot (0)} - 1 = \frac{1}{0} - 1

Pero la división por cero no está definida. Es por esto que concluimos que la ecuación no tiene solución.