Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estabilidad

Hemos dicho que nos interesa estudiar el comportamiento de la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas alrededor de un punto particular, y este punto es el punto de equilibrio, así que una vez que sabemos como calcularlo. Veamos qué tipos de comportamiento podemos identificar.

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Punto estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si a partir de un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación, podemos definir un nuevo entorno sobre el punto de equilibrio que contiene al valor inicial, y así, asegurar que todos los elementos de la sucesión que define la solución están dentro del entorno original, entonces decimos que punto de equilibrio es estable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto estable si dado \varepsilon > 0, existe un número real \delta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \delta, entonces |y_{t} - P_e| < \varepsilon para todo t

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, entonces podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Punto inestable

Si al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo existirá un entorno del punto de equilibrio tal que por más cercano que el valor inicial esté del punto de equilibrio, hay un elemento de la sucesión que define la solución por fuera del entorno dicho entorno. En este caso, decimos que es el punto de equilibrio inestable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto inestable si existe un número real \varepsilon > 0 y un número real \delta > 0 tal que

|y_0 - P_e| < \delta pero |y_{k} - P_e| > \varepsilon para algún k

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, pero no podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud creciente.
oscilaciones explosivas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones explosivas.


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Punto atractor

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si existe un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación que contiene al valor inicial, a partir del cual podemos asegurar que los elementos de la sucesión que define la solución se acercan cada vez más al punto de equilibrio, entonces decimos que el punto de equilibrio es un atractor.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto atractor si existe un número real \eta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \eta, entonces \lim_{t \to \infty} y_{t} = P_e

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Más aún, si esto se cumple para cualquier número real \eta, decimos que el punto de equilibrio es un punto atractor global. Gráficamente, lo que ocurre es que independientemente de sea cual sea el valor de y_0, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


Asintóticamente estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si el punto de equilibrio es estable y atractor, entonces decimos que es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Más aún, si el punto de equilibrio es estable y atractor global, entonces decimos que es un punto de equilibrio globalmente asintóticamente estable.

Veamos en los siguientes ejemplos, como determinar la estabilidad del punto de equilibrio.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = 2y_{t} + 5 con condición inicial y_0 = 10, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = 2^t \cdot 15 - 5 \text{ y } P_e= \frac{5}{1-2} = -5

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo mayor que uno: 2; es decir,

\lim_{t \to \infty} 2^t \cdot 15 - 5 = +\infty

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud creciente:

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com

Ejemplo 2

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = -3y_{t} + 7 con condición inicial y_0 = \frac{2}{3}, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right) \text{ y } P_e= \frac{7}{4}

Si intentamos calcular el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty para los valores pares de t y tiende a -\infty para los valores impares de t, esto se debe a que la base de la potencia es un número negativo menor que menos uno: -3; de esta forma, el límite no existe y concluimos que esta sucesión diverge.

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe oscilaciones explosivas:

oscilaciones explosivas | totumat.com

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden 10y_{t+1} = 5y_{t} + 4 con condición inicial y_0 = 20, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right) \text{ y } P_e= \frac{4}{5}

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a \frac{4}{5}, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo menor que uno: \frac{1}{2}; es decir,

\lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \right) = 0 \cdot 20 + (1 - 0) \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto asintóticamente estable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud decreciente:

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com

Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estado de equilibrio

Las soluciones de una Ecuación en Diferencias Finitas están definidas por sucesiones, y una vez que hemos aprendido a calcular estas soluciones, resultará de vital interés estudiar el comportamiento las mismas y más aún, nos interesará su comportamiento respecto a un punto muy particular.

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Punto Fijo

Un punto fijo de una función es un punto en el que un elemento del dominio coincide con él mismo en el rango. Formalmente, si consideramos una función real f : A \longrightarrow B, definimos un punto fijo de esta función como un punto x_0 perteneciente al dominio de f tal que

f(x_0) = x_0

Gráficamente, diremos que un punto fijo de una función es donde esta coincide con la función identidad, es decir, donde coincide con la función f(x)=x.

Punto de Equilibrio | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

La función f(x)=-x+1 tiene un punto fijo en x_0 = \frac{1}{2}, pues f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.

Ejemplo 2

La función f(x)=x^2 tiene dos puntos fijos: x_0 = 0 y x_1 = 1, pues f(0)=0 y f(1)=1, respectivamente.

Ejemplo 3

La función f(x)=\frac{x^3}{8} tiene tres puntos fijos: x_0 = -2, x_1 = 0 y x_2 = 2, pues f(-2)=-2, f(0) = 0 y f(2)=2, respectivamente.


Estado de Equilibrio

Al definir la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas, nos interesará estudiar el comportamiento de esta alrededor de un punto en particular. Considerando una ecuación en diferencias finitas definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), diremos que P_e es un punto de equilibrio de esta ecuación si P_e es un punto fijo de f, esto es,

f(P_e) = P_e

Es decir, P_e representa una solución que permanece constante a partir de algún valor de t. Particularmente, si consideremos la condición inicial y_0=P_e, entonces, al estar la ecuación definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), tenemos que

y_{1} = f(y_0) = f(P_e) = P_e

Y procediendo de forma recursiva, podemos concluir que y_t = P_e. Al estado en que una sucesión permanece constante de esta forma se le conoce como Estado de Equilibrio o Estado Estacionario.

Veamos en el siguiente ejemplo, como calcular el punto de equilibrio de una sucesión de la forma y_{t+1} = py_{t} + q.

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = 2y_{t} + 5

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = 2 \cdot P_e+5

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio:

P_e= \frac{5}{1-2} = -5

De esta forma, si fijamos la condición inicial y_0 = -5, y_{1} = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5 y procediendo así de forma recursiva, podemos concluir que y_t = -5.


Considerando este último ejemplo, de forma general, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = p \cdot P_e+q

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio aplicando al siguiente fórmula:

P_e= \dfrac{q}{1-p}

Ejemplos

Ejemplo 4

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = -3y_{t} + 7

Entonces, identificamos los valores p=-3 y q=7 y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \frac{7}{1-(-3)} = -\frac{7}{4}

Ejemplo 5

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

10y_{t+1} = 5y_{t} + 4

Notemos que y_{t+1} está multiplicado por el coeficiente 10, entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente 10 para obtener:

y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}

Entonces, identificamos los valores p=\frac{1}{2} y q=\frac{2}{5} y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \dfrac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}


Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden

En el estudio de los fenómenos medidos de forma discreta a través del tiempo, resulta de particular interés relacionar de forma lineal lo ocurrido en el presente con lo ocurrido en el periodo inmediato anterior, es decir, lo ocurrido en un periodo t con lo ocurrido en el periodo anterior t-1. Para esto, definimos un tipo particular de Ecuaciones en Diferencias Finitas.

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Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden

Una vez que hemos aprendido a clasificar las Ecuaciones en Diferencias, podemos empezar a estudiar los métodos para calcular la solución de estas y para esto, consideremos la forma más simple que podemos obtener a partir de la forma en que las hemos clasificado, esto es Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales Autónomas de Primer Orden, es decir, con coeficientes constantes.

Consideremos a(t), b(t) y c(t), tres funciones que dependen únicamente de la variable t. Entonces, definimos las ecuaciones no autónomas de la siguiente forma:

a(t) y_{t+1} + b(t) y_{t} = c(t)

Por otra parte, consideremos a, b y c, números reales. Entonces, definimos las ecuaciones autónomas de la siguiente forma:

ay_{t+1} + by_{t} = c

A partir de esta igualdad, podemos manipular algebraicamente para notar que este tipo de ecuaciones se puede reescribir no como una relación implícita entre y_{t+1} y y_{t} sino como una expresión explícita para y_{t+1} = f(y_{t}) de la siguiente forma:

y_{t+1} = p y_{t} + q

Este tipo de expresiones se les conoce como relaciones de recurrencia, pues relaciona a toda observación directamente con la observación inmediatamente anterior y usualmente se usan para describir crecimientos poblacionales. Considerando este tipo de ecuaciones, veamos cuales son las condiciones que se deben cumplir para garantizar que existe una única solución.

Teorema de Existencia y Unicidad

Sea y_{t+1} una sucesión de número naturales y sean a, b y c números reales constantes para cualquier valor de t. Considerando la siguiente ecuación en diferencias lineal de primer orden con coeficientes constantes

ay_{t+1} + by_{t} = c

Si fijamos un número real k_0, entonces existe una única sucesión y_t que es solución de la ecuación tal que si t=0, entonces y_0 = k_0, esto es lo que se conoce como la condición inicial.

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Ejemplo 1

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

y_{t+1} = 2y_{t} + 5, con y_0 = 10

Antes desarrollar un método general que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones, veamos una idea intuitiva para calcular la solución de esta ecuación. Entonces, partiendo de la condición inicial, tenemos que

y_{1} = 2y_{0} + 5 \Rightarrow y_{1} = 2 \cdot 10 + 5

Efectuando estas últimas operaciones, podemos calcular el valor de y_{1} pero debemos notar, que así como pudimos calcular y_{1} a partir de y_{0}, también podemos calcular y_{2} a partir de y_{1}

y_{2} = 2y_{1} + 5 \Rightarrow y_{2} = 2(2 \cdot 10 + 5)+5 \Rightarrow 2^2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 5

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de y_{3} a partir de y_{2}

y_{3} = 2y_{2} + 5 \Rightarrow y_{3} = 2( 2^2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 5 )+5 \Rightarrow 2^3 \cdot 10 + 2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 5

Y así sucesivamente, podemos calcular los demás términos procediendo de forma recursiva. Finalmente, calculamos el término general y_{t} de la siguiente forma:

y_{t} = 2^t \cdot 10 + 2^{t-1} \cdot 5 + 2^{t-2} \cdot 5 + \ldots + 2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 5

Entonces, sacando a 5 como un factor común, tenemos que

y_{t} = 2^t \cdot 10 + (2^{t-1} + 2^{t-2} + \ldots + 2^2 + 2 + 1) \cdot 5

Pero justamente, 2^{t-1} + 2^{t-2} + \ldots + 2^2 + 2 + 1 es la suma de los primeros t-1 términos de una sucesión geométrica con razón igual a 2, por lo tanto, es igual a \frac{1-2^t}{1-2} = 2^t-1. Así,

y_{t} = 2^t \cdot 10 + (2^t-1) \cdot 5 = 2^t \cdot 10 + 2^t \cdot 5 - 5 = 2^t \cdot 15 - 5

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La solución general

Considerando este último ejemplo, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q

Partiendo de la condición inicial y_0, tenemos que

y_{1} = p \cdot y_{0} + q

Así como pudimos calcular y_{1} a partir de y_{0}, también podemos calcular y_{2} a partir de y_{1}

y_{2} = p \cdot y_{1} + q = p \cdot (p \cdot y_{0} + q) + q = p^2 \cdot y_{0} + p \cdot q + q

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de y_{3} a partir de y_{2}

y_{3} = p \cdot y_{2} + q = p \cdot ( p^2 \cdot y_{0} + p \cdot q + q ) + q = p^3 \cdot y_{0} + p^2 \cdot q + p \cdot q + q

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de y_{4} a partir de y_{2}

y_{4} = p \cdot y_{3} + q = p \cdot ( p^3 \cdot y_{0} + p^2 \cdot q + p \cdot q + q ) + q = p^4 \cdot y_{0} + p^3 \cdot q + p^2 \cdot q + p \cdot q +  q

Y así sucesivamente, podemos calcular los demás términos procediendo de forma recursiva. Finalmente, calculamos el término general y_{t} de la siguiente forma:

y_{t} = p^{t} \cdot y_{0} + p^{t-1} \cdot q + \ldots + p^{1} \cdot q + p^{0} \cdot q

Entonces, sacando a q como un factor común, tenemos que

y_{t} = p^{t} \cdot y_{0} + ( p^{t-1} + \ldots + p^{1}+ p^{0} ) \cdot q

Pero justamente, p^{t-1} + \ldots + p^{1}+ p^{0} es la suma de los primeros t-1 términos de una sucesión geométrica con razón igual a p, por lo tanto, es igual a \frac{1-p^t}{1-p}. Así,

y_{t} = p^t \cdot y_{0} +  \frac{1-p^t}{1-p} \cdot q

Esta última igualdad será reescrita para que posteriormente podamos identificar algunos elementos en ella, de la siguiente forma:

y_{t} = p^t \cdot y_{0} + \left( 1-p^t \right) \left( \dfrac{q}{1-p} \right)

Podemos usar esta fórmula para calcular la solución de cualquier ecuación en diferencias finitas expresadas de la forma y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q, así que veamos con algunos ejemplos, como aplicarla.

Ejemplos

Ejemplo 2

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

y_{t+1} = -3y_{t} + 7, \text{ con } y_0 = \frac{2}{3}

Entonces, aplicando la fórmula, identificamos los valores p=3 y q=7 para calcular la solución, de la siguiente forma:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right)

Ejemplo 3

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

10y_{t+1} = 5y_{t} + 4, \text{ con } y_0 = 20

Notemos que y_{t+1} está multiplicado por el coeficiente 10, entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente 10 para obtener:

y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}, \text{ con } y_0 = 20

Entonces, aplicando la fórmula, identificamos los valores de p=\frac{1}{2} y q=\frac{2}{5} para calcular la solución, de la siguiente forma:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right)


Ecuaciones en Diferencias Finitas

Las Ecuaciones Diferenciales permiten estudiar distintos fenómenos a través del tiempo de forma continua usando diferenciales, sin embargo, no siempre los fenómenos que se estudian están medidos de forma continua y en cambio, están medidos de forma discreta.

Las Ecuaciones en Diferencias Finitas permiten estudiar distintos fenómenos a través del tiempo de forma discreta usando diferencias, es decir, considerando las relaciones entre dos eventos de un determinado fenómeno cuya información se ha recolectado a través del tiempo.

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Antes de abordar las Ecuaciones en Diferencias Finitas es importante identificar algunos elementos matemáticos que darán precisión a las definiciones que darán cuerpo a la teoría y uno de los elementos más básicos es entender a qué nos referimos cuando se menciona la palabra continua o la palabra discreta.

Mediciones continuas y mediciones discretas

En el ámbito de las Ecuaciones en Diferencias, las variables están medidas a través del tiempo. Usualmente, el tiempo se identifica con la variable t y este puede ser considerado de dos formas.

Mediciones Continuas

Una variable es medida de forma continua si los intervalos de tiempo considerados son muy pequeños (relativo al fenómeno en cuestión), usualmente; segundos, microsegundos o milisegundos. Entonces, una variable y está medida de forma continua si su dominio está definido como un intervalo en el conjunto de los números reales, formalmente, diremos que definida de la siguiente forma:

y : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}

Consideremos en los siguientes ejemplos, fenómenos que han sido medidos de forma continua.

Ejemplos

Ejemplo 1

El precio de las acciones en la bolsa de valores está medido de forma continua a través del tiempo, más aún, está medido en tiempo real.

Ejemplo 2

El valor de una criptomoneda está medido de forma continua a través del tiempo, más aún, está medido en tiempo real.

Ejemplo 3

Si una persona está conectada a un electrocardiógrafo para hacer un registro de sus signos vitales, los resultados reflejados en el electrocardiograma están medidos de forma continua a través del tiempo.

Mediciones Discretas

Una variable es medida de forma discreta si los intervalos de tiempo considerados son grandes (relativo al fenómeno en cuestión), usualmente; días, semanas, meses o años. Entonces, una variable y está medida de forma discreta si su dominio está definido por números enteros no negativos, formalmente, diremos que definida de la siguiente forma:

y : \{ 0, 1, 2, \ldots, n \} \longrightarrow \mathbb{R}

Ejemplos

Ejemplo 4

Un censo poblacional es efectuado cada diez años y para mantener estándares internacionales, se recomienda en los años terminados en cero, sin embargo, algunos países los miden cada cuatro años.

Ejemplo 5

La medición de intereses sobre un préstamo o una inversión, usualmente se hace de forma anual, aunque también puede ocurrir de forma trimestral o mensual.

Ejemplo 6

El precio del petróleo se mide de forma diaria, tomando en cuenta que la cesta de la OPEP, que es un promedio de los precios de los petróleos producidos por los países miembros de la OPEP y se utiliza como punto de referencia para los precios del petróleo.

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Diferencias finitas

Si consideramos una variable y que depende de una variable t, definimos una diferencia finita de y como una expresión de la forma y(t+b) - y(t+a) para cualesquiera dos números reales a y b. Nos resultará de particular interés la siguiente diferencia:

y(t+h) - y(t)

En el cálculo infinitesimal, esta diferencia sienta la base para definir la derivada de una función. Sin embargo, nuestro propósito será el de trabajar con variables medidas de forma discreta, es por esto que modificaremos nuestra notación un poco:

  • Adoptamos la notación usada para las sucesiones de números reales, de forma, que el valor y(t) se representa como y_{t}.
  • Sustituimos la letra h por la letra k.

Tomando en cuenta esto, expresaremos la diferencia finita de una variable y medida de forma discreta con la expresión

y_{t+k} - y_{t}

A esta última expresión la llamaremos diferencia finita de orden k, esto se debe a que esta es la diferencia entre los índices de y_{t} y y_{t+k}, es decir, t+k - t = k.

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Ecuaciones en Diferencias Finitas

Considerando una variable discreta t y una variable real y que depende de t, definimos una \textbf{Ecuación en Diferencias Finitas} como una expresión que establece una relación entre la variable t y los valores y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} a través de una igualdad. Formalmente, una relación expresada de la siguiente forma:

F \left( t,y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} \right)=0

De forma particular, si consideramos la relación y_{t+1} - y_{t} - 5 = 0 diremos que esta es una ecuación en diferencias finitas y nuestro propósito será el de determinar cuál es la forma general de la sucesión y_t que satisface esta igualdad.

El estudio de las ecuaciones en diferencias finitas tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de éstas y para lograrlo, debemos clasificarlas. Las ecuaciones en diferencias finitas se clasifican principalmente de dos formas: Por orden y por linealidad.

  • Por linealidad: Una ecuación en diferencias finitas es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente.
  • Por orden: El orden de una ecuación en diferencias finitas viene dado por el mayor orden involucrado en ella.
  • Por autonomía:
    • Una ecuación en diferencias finitas es no autónoma o variante en el tiempo si la variable t sí está involucrada como un elemento de la ecuación, es decir, expresada de la forma F \left(t,y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} \right)=0
    • Una ecuación en diferencias finitas es autónoma o invariante en el tiempo si la variable t no está involucrada como un elemento de la ecuación, es decir, expresada de la forma F \left(y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} \right)=0

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones en diferencias finitas, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones en diferencias finitas para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 7

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas y_{t+1} - y_{t} - 5 = 0

  • Es lineal ya que el exponente de y_{t+1} y y_{t} es exactamente igual a uno y tampoco hay un producto entre estos dos elementos.
  • Es de primer orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+1)-(t)=1.
  • Es autónoma porque la variable t no aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de primer orden.

Ejemplo 8

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas 3y_{t+7} - 9y_{t+3} - 12t = 0

  • Es lineal ya que el exponente de y_{t+7} y y_{t+3} es exactamente igual a uno y tampoco hay un producto entre estos dos elementos.
  • Es de cuarto orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+7)-(t+3)=4.
  • Es no autónoma porque la variable t sí aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de cuarto orden.

Ejemplo 9

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas -2ty_{t+5} + 10y_{t+3} + 5y_{t} - 12t^2 + 9 = 0

  • Es lineal ya que el exponente de y_{t+5}, y_{t+3} y y_{t} es exactamente igual a uno y tampoco hay un producto entre estos tres elementos.
  • Es de quinto orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+5)-(t)=5.
  • Es no autónoma porque la variable t sí aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de quinto orden.

Ejemplo 10

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas 4y_{t+1} \cdot y_{t} - 7 = 0

  • No es lineal, pues existe un producto entre y_{t+1} y y_{t}.
  • Es de primer orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+1)-(t)=1.
  • Es autónoma porque la variable t no aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de primer orden.


Bibliografía Complementaria

Cómo dividir 630÷24

Se ha levantado revuelo en Twitter por un tweet de una persona que no entiende cómo ha sido el procedimiento que ha llevado a cabo su hija para efectuar la operación 630÷24. A mi parecer, ambos procedimientos son iguales, salvo que en el primero se han hecho algunas cuentas mentales y en el segundo ha sido más detallado.

Considerando que en muchas de las respuestas indican que no saben efectuar esa división y aunque no veo ningún problema con eso, para los curiosos, comparto con detalle cual fue el procedimiento que ha usado la hija y veremos que ambos procedimientos expuestos son el mismo.

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Para empezar, debemos notar que la división 630÷24 se conoce como una división entre dos cifras, esto se debe a que el número 24 cuenta con dos cifras. Antes de empezar con el procedimiento para efectuar esta división, veamos con algunos ejemplos como dividir por un número de una cifra.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si dividimos 13 entre 5, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 5 el resultado sea exactamente igual a 13, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 13.

Particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 5 = 10 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 13 - 10 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto 3 es menor que el divisor 5, ha concluido el procedimiento y decimos que 13 = 2 \cdot 5 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 2

Si dividimos 125 entre 9, pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 125, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 125.

Sin embargo, al ser 125 un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de 125.

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 12, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 12.

Particularmente el número que estamos buscando es 1 pues 1 \cdot 9 = 9 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 12 - 9 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número 5 y lo escribimos del lado derecho del 3.

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Como 35 es mayor que 9, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 35, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 35.

Particularmente el número que estamos buscando es 3 pues 3 \cdot 9 = 27 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 35-27 = 8, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Como el resto 8 es menor que el divisor 9, ha concluido el procedimiento y decimos que 125 = 13 \cdot 9 + 8. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

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Visto un ejemplo de una cifra y teniendo clara la idea de como efectuar una división, veamos qué es lo que ocurre al efectuar la división 630÷24:

630÷24

Si dividimos 630 entre 24, debemos considerar que el número 24 tiene dos cifras. Pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 630, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 630.

Sin embargo, al ser 630 un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de 630.

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 63, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 63.

Particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 24 = 48 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 63 - 48 = 15, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número 0 y lo escribimos del lado derecho del 15.

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Como 150 es mayor que 24, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 150, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 150.

Notemos que 150 es un número de tres cifras, pero si consideramos sólo las primeras dos cifras, no podemos continuar con el procedimiento pues 15 es menor que 24.

Particularmente el número que estamos buscando es 6 pues 6 \cdot 24 = 144 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 150-144 = 6, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Como el resto 6 es menor que el divisor 24, ha concluido el procedimiento y decimos que 125 = 13 \cdot 9 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.