Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso no lineal

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar $q_1$ unidades de dicho artículo.

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora comprarán las mismas $q_1$ unidades pagando cada unidad en un menor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un consumidor pensaba gastar $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la función de demanda de la siguiente forma,

Pero como al final los consumidores están pagando un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la función de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área que se encuentra entre la función de demanda, la recta que define del precio de equilibrio y el Eje P.

Por lo tanto, si la función de demanda está denotada de la forma $D(q)$ , determinamos el excedente de los consumidores calculando la siguiente integral definida:

$\displaystyle E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq$

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar $q_1$ unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.),

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora ofertarán las mismas $q_1$ unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un productor pensaba recibir $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad ofertada), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la función de oferta de la siguiente forma,

Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la función de oferta de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la función de oferta, la función del precio de equilibrio y el Eje P.

Por lo tanto, si la función de oferta está denotada de la forma $O(q)$ , determinamos el excedente de los productores calculando la siguiente integral definida:

$\displaystyle E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \big( p_0 - O(q) \big) \ dq$

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{67}{100}q +126$ y la ecuación de oferta $p = \frac{13}{25}q^2 +36$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego planteamos una ecuación cuadrática para calcular $q$ .

$\displaystyle -\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q^2+36$

$\displaystyle \Rightarrow \ -\frac{67}{100}q +126 - \frac{13}{25}q^2 - 36 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ - \frac{13}{25}q^2 -\frac{67}{100}q + 90 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ \frac{13}{25}q^2 + \frac{67}{100}q - 90 = 0$

Para calcular la solución de esta ecuación cuadrática utilizamos el método de discriminante:

$\displaystyle q \ = \ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$\displaystyle \ = \ \dfrac{- \frac{67}{100} \pm \sqrt{\left( \frac{67}{100} \right)^2-4 \cdot \left( \frac{13}{25} \right) \cdot \left( - 90 \right)}}{2 \cdot \left( \frac{13}{25} \right)}$

De donde concluimos que $q \approx -13.84163$ ó $q \approx 12.50163$ , pero al ser $q$ una variable que representa cantidades, consideramos únicamente su valor positivo.

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la función de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos en este caso el valor de $q \approx 12.50163$ en la ecuación de demanda.

$\displaystyle p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( 12.50 \right) + 126 \ \approx \ 117.6239$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( 12.50163 ; 117.6239 \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Excedente de los Productores y de los Consumidores, ejemplo. | totumat.com

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\displaystyle E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.50} \left( -\frac{67}{100}q +126 - 117.62 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.50} \left( -\frac{67}{100}q + 8.38 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( -\frac{67}{100} \frac{q^2}{2} + 8.38q \right) \right|_{0}^{12.05}$

$\displaystyle \ = \ \left( -\frac{67}{100} \frac{(12.05)^2}{2} + 8.38(12.05) \right) - \left( -\frac{67}{100} \frac{(0)^2}{2} + 8.38(0) \right)$

$\displaystyle \ = \ 52.41$

Calculamos el Excedente de los Productores:

$\displaystyle E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( p_0 - O(q) \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.05} \left( 117.62 - \frac{13}{25}q^2 - 36 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.05} \left( 81.62 - \frac{13}{25}q^2 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( 81.62q - \frac{13}{25} \frac{q^3}{3} \right) \right|_{0}^{12.05}$

$\displaystyle \ = \ \left( 81.62 (12.05) - \frac{13}{25} \frac{(12.05)^3}{3} \right) - \left( 81.62(0) - \frac{13}{25} \frac{(0)^3}{3} \right)$

$\ = \ 680.24$

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{1}{10}q^2 +115$ y la ecuación de oferta $p = \frac{87}{100}q +11$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego planteamos una ecuación cuadrática para calcular $q$ .

$\displaystyle -\frac{1}{10}q^2 +115 = \frac{87}{100}q +11$

$\displaystyle \Rightarrow \ -\frac{1}{10}q^2 +115 - \frac{87}{100}q - 11 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ -\frac{1}{10}q^2 - \frac{87}{100}q + 104 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ \frac{1}{10}q^2 + \frac{87}{100}q - 104 = 0$

Para calcular la solución de esta ecuación cuadrática utilizamos el método de discriminante:

$\displaystyle q \ = \ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$\displaystyle \ = \ \dfrac{- \frac{87}{100} \pm \sqrt{\left( \frac{87}{100} \right)^2-4 \cdot \left( \frac{1}{10} \right) \cdot \left( - 104 \right)}}{2 \cdot \left( \frac{1}{10} \right)}$

De donde concluimos que $q \approx -33.41109$ ó $q \approx 31.67109$ , pero al ser $q$ una variable que representa cantidades, consideramos únicamente su valor positivo.

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la función de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos en este caso el valor de $q \approx 31.67$ en la ecuación de oferta.

$p = \ \frac{87}{100} (31.67) +11 \ \approx \ 38.55385$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( 31.67 ; 38.55 \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\displaystyle E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( -\frac{1}{10}q^2 +115 - 38.55 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( -\frac{1}{10}q^2 + 76.45 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( -\frac{1}{10} \frac{q^3}{3} + 76.45q \right) \right|_{0}^{31.67}$

$\displaystyle \ = \ \left( -\frac{1}{10} \frac{(31.67)^3}{3} + 76.45(31.67) \right) - \left( -\frac{1}{10} \frac{(0)^3}{3} +76.45(0) \right)$

$\ = \ 1362.35$

Calculamos el Excedente de los Productores:

$\displaystyle E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( p_0 - O(q) \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( 38.55 - \frac{87}{100}q - 11 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( 27.55 - \frac{87}{100}q \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( 27.55 q - \frac{87}{100} \frac{q^2}{2} \right) \right|_{0}^{31.67}$

$\displaystyle \ = \ \left( 27.55 (31.67) - \frac{87}{100} \frac{(31.67)^2}{2} \right) - \left( 27.55 (0) - \frac{87}{100} \frac{(0)^2}{2} \right)$

$\ = \ 436.20$