Propiedades de la Integral Indefinida

Empezaremos estudiando la integral de funciones generadas a partir de algunas operaciones básicas entre funciones elementales, particularmente sobre la suma, la resta y la multiplicación por un escalar. Formalmente, Sean f(x) una función y k un escalar, entonces tenemos que

Integral de la Suma

Integral de la Resta

Integral del Producto por un Escalar

Notemos que no se ha definido una propiedad para el producto y la división porque pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DEL PRODUCTO O DIVISIÓN ENTRE DOS FUNCIONES, así que si bien podemos separar las sumas, no podemos separar los productos ni divisiones.

Veamos en los siguientes ejemplos que usando estas propiedades y la tabla de integrales, podemos empezar a calcular la integral de funciones un poco más complejas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = x^2 + x, es decir,

\int (x^2 + x) \, dx

Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

\int x^2 dx + \int x \, dx

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

\frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2

Notemos que para cada una de las funciones, al calcular la integral se han generado dos familias diferentes de antiderivadas, es por esto que hemos usado dos constantes C_1 y C_2, sin embargo, podemos agrupar estas dos constantes en una sola constante C y concluir que

\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = 3x^5 - 2x + 9, es decir,

\int (3x^5 - 2x + 9) dx

Debemos notar que esta función está definida como la suma de tres funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

\int 3x^5 \, dx -\int 2x \, dx +\int 9 \, dx

Tomando en cuenta que algunas de ellas están siendo multiplicadas por escalares, sacamos estos escalares de las integrales para obtener la siguiente expresión

3\int x^5 \, dx - 2\int x \, dx + \int 9 \, dx

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos y sacado sus escalares, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas,

3\frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - C_2 + 9x + C_3

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

\int (3x^5 - 2x + 9) \, dx = \frac{x^6}{2} - x^2 + 9x + C

Ejemplo 3

Calcule la integral de f(x) = 7 \textit{\Large e}^x + \sqrt{x}, es decir,

\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx

La integral de la función exponencial no debería presentar dificultad alguna pero si nos fijamos en la raíz cuadrada de x, ¿está en la tabla? Claro que sí, pero debemos reescribirla, pues \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}. Entonces,

7 \int \textit{\Large e}^x \, dx + \int x^{\frac{1}{2}} \, dx

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

7 \textit{\Large e}^x + C_1 + \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_2

Simplificamos operando las fracciones involucradas en el exponente y en el denominador obteniendo

7 \textit{\Large e}^x + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C

Efectuando la división de fracciones involucrada concluimos que

\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = 7 \textit{\Large e}^x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C

Ejemplo 4

Calcule la integral de f(x) = \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x}, es decir,

\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx

Cada uno de los sumandos se puede reescribir para aplicar la regla del exponente, sin embargo, debemos ser cuidadosos con la función \frac{1}{x} pues al reescribirla como x^{-1} no se puede aplicar la regla del exponente pero no hay de que preocuparse pues la integración de esta es directa de la tabla.

Separemos cada uno de los sumandos y saquemos las constantes,

6 \int \frac{1}{x^5} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \, dx + 3\int \frac{1}{x} \, dx

Reescribimos las funciones que se necesiten reescribir,

6 \int x^{-5} \, dx +-\frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

6 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) - C_2 + 3 \ln|x| + C_3

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx= - \frac{3}{2x^4} + \frac{1}{2x} + 3 \ln|x| + C


Un comentario sobre “Propiedades de la Integral Indefinida

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