Inecuaciones Polinómicas y la Tabla de Análisis de Signos

Para calcular la solución de una inecuación lineal basta con usar las técnicas despeje que normalmente se usan para calcular una ecuación lineal, y como resultado, generalmente obtenemos un conjunto infinito de número.

Para calcular la solución de una inecuación cuadrática, factorizamos el polinomio cuadrático y recurrimos a la Ley de los Signos, para analizar los dos casos posibles a partir del signo de cada factor involucrado.

Para calcular la solución de una inecuación polinómica, también recurriremos a la factorización de polinomios, sin embargo, el análisis de cada caso puede ser engorroso pues a medida que aumentan los factores, también aumentan los casos. Es por esto, que recurriremos a una herramienta que nos permita analizar el signo del polinomio de una forma global.

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¿Qué es una inecuación polinómica?

Una inecuación polinómica, es una inecuación que involucra a una una potencia de la variable $x$ . Formalmente, si consideramos un conjunto de $n$ números reales $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ , definimos una inecuación polinómica como una inecuación que se puede expresar de la siguiente forma:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0$

Donde « $>$ » representa cualquier desigualdad $>$ , $\geq$ , $<$ ó $\leq$ .

Si definimos $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ , entonces podemos expresar una inecuación polinómica de la siguiente forma:

$P(x) > 0$

La Tabla de Análisis de Signos

La técnica que usaremos para calcular la solución de este tipo de inecuaciones, consiste en calcular las raíces del polinomio $P(x)$ , factorizarlo a partir de sus raíces y posteriormente, analizar el signo de cada factor a lo largo de cada número real, es decir, para qué valores de $x$ cada factor es positivo o negativo.

En los siguientes ejemplos explicaremos cómo usar una Tabla de Análisis de Signos o simplemente Tabla de Signos (coloquialmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) para calcular la solución de inecuaciones polinómicas.

La tabla de análisis de signos está basada en el Teorema de Sturm, que en términos llanos, permite determinar la cantidad de raíces de un polinomio en un intervalo a partir de la cantidad de veces que varía el signo de dicho polinomio en dicho intervalo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$

El primero paso será calcular las raíces del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini de la siguiente forma:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=1$ , $x_2=-1$ y $x_3=-2$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = (x-1)(x-(-1))(x-(-2)) = (x-1)(x+1)(x+2)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones, siendo uno para cada factor y uno adicional para el polinomio $P(x)$ :

En estos renglones se disponen los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ , $(x+2)$ y el polinomio $P(x)$ , de la siguiente forma:

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x-1 = 0$ . Este valor es $1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+1 = 0$ . Este valor es $-1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el tercer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+2 = 0$ . Este valor es $-2$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Para cada intervalo $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ el signo de $P(X)$ está definido por el producto de los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ y $(x+2)$ . De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

En la primera columna $(-) \cdot (-) \cdot (-) = -$
En la segunda columna $(-) \cdot (-) \cdot (+) = +$
En la tercera columna $(-) \cdot (+) \cdot (+) = -$
En la cuarta columna $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en $x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $(-2,-1)$ o al intervalo $(1,+\infty)$ , entonces la solución general de la inecuación está definida por la siguiente unión de intervalo:

$(-2,-1) \cup (1,+\infty)$

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$

Lo primero que debemos notar es que podemos sacar $-2$ como un factor en el polinomio $P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48$ . De esta forma, obtenemos la siguiente expresión:

$-2 \cdot (x^3 + 5x^2 - 2x - 24) \leq 0$

El siguiente paso será calcular las raíces del polinomio $x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini, como sigue:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=2$ , $x_2=-3$ y $x_3=-4$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = -2(x-2)(x-(-3))(x-(-4)) = -2(x-2)(x+3)(x+4)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-4]$ , $[-4,-3]$ , $[-3,2]$ y $[2,+\infty]$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada.

Es importante tomar en cuenta que $-2$ es un factor negativo constante, así, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación $-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $[-4,-3]$ o al intervalo $[2,+\infty)$ , entonces la solución general de la ecuación es: