Tabla de Signos

Inecuaciones de grado mayor grado que dos

Consideremos ahora inecuaciones en las que el mayor exponente involucrado es mayor que 2, es decir, aquellas inecuaciones que se expresan de la siguiente forma:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0

Donde “>” representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq; a_n, a_{n-1}, ..., a_2,a_1,a_0 son números reales y n>2. Es posible determinar los valores para los cuales se satisface la desigualdad factorizando el polinomio P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 tal como lo hicimos con las ecuaciones cuadráticas, sin embargo, este método puede ser tedioso debido a todos los casos que hay que considerar, es por esto que desarrollaremos un método más sofisticado que nos permitirá estudiar donde el polinomio P(X) es positivo o negativo, a esto le llamaremos estudiar el signo del polinomio.

En los siguientes ejemplos usaremos una tabla de análisis de signos o simplemente tabla de signos (vulgarmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) está basada en el Teorema de Sturm y en ella veremos como se comporta el signo del polinomio P(x) en intervalos muy particulares definidos por sus raíces.

Cuando le llamas “Tabla de Análisis de Signo”

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 es positivo. Para esto calculemos primero sus raíces usando el Método de Ruffini.

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=1, x_2=-1 y x_3=-2; entonces podemos factorizarlo como P(x) = (x-1)(x+1)(x+2) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty). Para esto ubicamos cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty en la recta real de la siguiente manera:

Intervalos

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones horizontales. Obteniendo una tabla de la siguiente forma:

Estos renglones se reparten uno para cada factor involucrado (x-1), (x+1), (x+2) y uno para el polinomio P(x). Los ubicamos así:

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de x para el cual x-1 = 0. Este valor es 1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que 1, tenemos que x-1 es negativo y para los valores de x mayores que 1, tenemos que x-1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x-1 < 0 y x-1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de x para el cual x+1 = 0. Este valor es -1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -1, tenemos que x+1 es negativo y para los valores de x mayores que -1, tenemos que x+1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+1 < 0 y x+1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de x para el cual x+2 = 0. Este valor es -2 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -2, tenemos que x+2 es negativo y para los valores de x mayores que -2 tenemos que x+2 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+2 < 0 y x+2 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Para cada intervalo (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty) el signo de P(X) vendrá dado por el producto de los factores que lo definen. De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

  • En la primera (-) \cdot (-) \cdot (-)=-
  • En la segunda (-) \cdot (-) \cdot (+)=+
  • En la tercera (-) \cdot (+) \cdot (+)=-
  • En la cuarta (+) \cdot (+) \cdot (+)=+

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos (-2,-1) ó (1,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

(-2,-1) \cup (1,+\infty)

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 es negativo o igual a cero. Para esto calculemos sus raíces usando el Método de Ruffini, primero sacamos factor común -2, entonces P(x) = -2(x^3 + 5x^2 - 2x - 24)

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=2, x_2=-3 y x_3=-4; entonces podemos factorizarlo como P(x) = -2(x-2)(x+3)(x+4) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-4], [-4,-3], [-3,2] y [2,+\infty]. Tomando todas las consideraciones del ejemplo anterior y además, tomando en cuenta que el factor -2 es un número negativo constante, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada como

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos [-4,-3] ó [2,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

[-4,-3] \cup [2,+\infty)


2 comentarios en “Tabla de Signos

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