Desigualdades

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

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Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo > y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro. Por ejemplo:

  • 10 > 8, se lee diez es mayor que ocho.
  • 3 > -9, se lee tres es mayor que menos nueve.
  • -5 > -16, se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo \geq y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 7 \geq 4, se lee siete es mayor o igual que cuatro.
  • 10 \geq -7, se lee diez es mayor o igual que menos siete.
  • -1 \geq -4, se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
  • 3 \geq 3, se lee tres es mayor o igual que tres.
  • -8 \geq -8, se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo < y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro. Por ejemplo:

  • 2 < 5, se lee dos es menor que 5.
  • -13 < 0, se lee menos trece es menor que cero.
  • -6 < -2, se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo \leq y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 11 \leq 20, se lee diez es menor o igual que veinte.
  • -3 \leq 14, se lee menos tres es menor o igual que catorce.
  • -22 \leq -9, se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
  • 6 \leq 6, se lee seis es menor o igual que seis.
  • -10 \leq -10, se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, vamos más allá y establecer relaciones entre números que no conocemos, para esto planteamos inecuaciones.


Ejercicios Propuestos de Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones Lineales

Calcule el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. x + 6 = 9
  2. x - 9 = 6
  3. 7x + 1 = 10
  4. 5x - 4 = 5
  5. 2 + 1x = 3
  6. 7 - 6x = 10
  7. 3 + 1x = 8
  8. 2 - 8x = 9
  9. 1 + 1x = 8 + 8x
  10. 2 - 8x = 2 + 2x

Ecuaciones con Valor Absoluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones con valor absoluto, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. | x + 9 |  = 7
  2. | x - 9 |  = 4
  3. | 8x + 1 |  = 5
  4. | 5x - 10 |  = 2
  5. | 3 + 5x |  = 7
  6. | 5 - 4x |  = 7
  7. | 7 - 4x |  = 5x
  8. | -7 + 4x |  = -7x
  9. | 3 + 8x |  = 8 + 4x
  10. | 5 - 9x |  = 10 + 10x

Inecuaciones Lineales

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. x + 6 < 5
  2. x + 1 < 7
  3. x - 2 > 4
  4. x - 3 > 8
  5. 11 - x \geq 54
  6. 25 - x \geq 12
  7. 32 - x \leq 71
  8. 41 - x \leq 96
  9. 2x + 6 < 15
  10. 8x + 1 < 27
  11. 32 - 5x \leq -71
  12. 41 - 6x \leq -96
  13. 25 < x + 102 < 300
  14. 45 < x + 65 < 78
  15. 78 \geq x + 45 > -255
  16. 12 \geq x + 20 > -39
  17. 45 < -x + 10 \leq 50
  18. 10 < -x + 2 \leq 21
  19. -78 \geq 2x + 45 \geq -255
  20. -12 \geq 5x + 20 \geq -39
  21. 45 \leq 4 - 3x \leq 50
  22. 10 \leq 5 - 5x \leq 21

Inecuaciones con Valor Abosluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. |x + 3| < 8
  2. |x + 2| < 4
  3. |x - 7| > 1+x
  4. |x - 6| > 5-x
  5. |41 - x| \geq x+96
  6. |32 - x| \geq x-71
  7. |25 - x| \leq 12x+4
  8. |11 - x| \leq 54x+3
  9. |6x + 3| < 88+45x
  10. |10x + 2| > 74+13x
  11. |25 - 7x| \leq 12x-12
  12. |11 - 8x| \geq 23x-54

Inecuaciones de grado mayor que dos

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones. Factorice los polinomios utilizando el método que sea más adecuado.

  1. x \left(x + 9\right) > 0
  2. \left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \leq 0
  3. x \left(x - 4\right) \left(x + 4\right) < 0
  4. \left(x - 5\right) \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) > 0
  5. \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 5\right) > 0
  6. \left(x - 2\right) \left(x + 7\right) \left(x + 9\right)^{2} \geq 0
  7. x^{2} - 9 x < 0
  8. x^{2} - 5 x + 4 > 0
  9. x^{3} - x^{2} - 20 x < 0
  10. x^{3} - 12 x^{2} - x + 252 \geq 0
  11. x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} + 36 x \geq 0
  12. x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 275 x - 600 \leq 0

Aplicaciones a la Economía

Utilidad

  1. Una charcutería produce carne de res para el cual el costo variable por unidad es de 14 Ps. y el costo fijo de 67782 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 92 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 66936 Ps.
  2. Una panadería produce pan canilla para el cual el costo variable por unidad es de 29 Ps. y el costo fijo de 68046 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 43 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 50077 Ps.
  3. Una Fábrica de Cerámica produce porcelanato para el cual el costo variable por unidad es de 19 Ps. y el costo fijo de 63023 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 63 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 83250 Ps.
  4. Una confitería produce chupetas de cereza para el cual el costo variable por unidad es de 21 Ps. y el costo fijo de 98393 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 33 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 90355 Ps.

Precio

  1. Una tienda de deportes produce zapatos para correr y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 11 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de deportes fijará el precio de cada unidad de zapatos para correr previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 2% durante una venta y aún obtener una ganancia de 68% sobre el costo?
  2. Una compañía de telefónica produce teléfonos Android y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 19 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la compañía de telefónica fijará el precio de cada unidad de teléfonos Android previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 5% durante una venta y aún obtener una ganancia de 99% sobre el costo?
  3. Una tienda de electrodomésticos produce licuadoras y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 36 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de electrodomésticos fijará el precio de cada unidad de licuadoras previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 27% durante una venta y aún obtener una ganancia de 78% sobre el costo?
  4. Una confitería produce caramelos de anís y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 31 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la confitería fijará el precio de cada unidad de caramelos de anís previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 33% durante una venta y aún obtener una ganancia de 51% sobre el costo?

Inversión

  1. Se invirtió un total de 14205 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 2%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 486 Ps.?
  2. Se invirtió un total de 34120 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 9%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 321 Ps.?
  3. Se invirtió un total de 28526 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 3% y 6%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 801 Ps.?
  4. Se invirtió un total de 30472 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 1%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 155 Ps.?

Tabla de Signos

Para calcular la solución de una inecuación lineal basta con seguir los pasos usados para calcular la solución de una ecuación lineal, para calcular la solución de una inecuación cuadrática el proceso no resulta tan trivial pues el producto de los factores involucrados nos invita a estudiar uno a uno los casos que se presentan. De esta forma, podemos notar que a medida que los polinomios involucrados en la inecuación tienen mayor grado, son más los casos que debemos considerar. Es por esto que debemos considerar un método que nos facilite las cuentas.

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Consideremos inecuaciones en las que el mayor exponente involucrado es mayor que 2, es decir, aquellas inecuaciones que se expresan de la siguiente forma:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0

Donde «>» representa ecualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq; a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0 son números reales y n>2.

Es posible determinar los valores que satisfacen la desigualdad factorizando el polinomio P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 tal como lo hicimos con las inecuaciones cuadráticas, sin embargo, este método puede ser tedioso debido a todos los casos que hay que considerar, es por esto que desarrollaremos un método más sofisticado que nos permitirá estudiar donde el polinomio P(X) es positivo o negativo, a esto le llamaremos estudiar el signo del polinomio.

En los siguientes ejemplos usaremos una tabla de análisis de signos o simplemente tabla de signos (vulgarmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) está basada en el Teorema de Sturm y en ella veremos como se comporta el signo del polinomio P(x) en intervalos muy particulares definidos por sus raíces.

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 es positivo. Para esto calculemos primero sus raíces usando el Método de Ruffini.

Método de Ruffini | totumat.com

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=1, x_2=-1 y x_3=-2; entonces podemos factorizarlo como P(x) = (x-1)(x+1)(x+2) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty). Para esto ubicamos cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty en la recta real de la siguiente manera:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com
Intervalos

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones horizontales. Obteniendo una tabla de la siguiente forma:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Estos renglones se reparten uno para cada factor involucrado (x-1), (x+1), (x+2) y uno para el polinomio P(x). Los ubicamos así:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de x para el cual x-1 = 0. Este valor es 1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que 1, tenemos que x-1 es negativo y para los valores de x mayores que 1, tenemos que x-1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x-1 < 0 y x-1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de x para el cual x+1 = 0. Este valor es -1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -1, tenemos que x+1 es negativo y para los valores de x mayores que -1, tenemos que x+1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+1 < 0 y x+1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el tercer factor, es decir, el valor de x para el cual x+2 = 0. Este valor es -2 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -2, tenemos que x+2 es negativo y para los valores de x mayores que -2 tenemos que x+2 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+2 < 0 y x+2 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Para cada intervalo (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty) el signo de P(X) vendrá dado por el producto de los factores que lo definen. De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

  • En la primera columna (-) \cdot (-) \cdot (-)=-
  • En la segunda columna (-) \cdot (-) \cdot (+)=+
  • En la tercera columna (-) \cdot (+) \cdot (+)=-
  • En la cuarta columna (+) \cdot (+) \cdot (+)=+

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos (-2,-1) ó (1,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

(-2,-1) \cup (1,+\infty)

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 es negativo o igual a cero. Para esto calculemos sus raíces usando el Método de Ruffini, primero sacamos factor común -2, entonces P(x) = -2(x^3 + 5x^2 - 2x - 24)

Método de Ruffini | totumat.com

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=2, x_2=-3 y x_3=-4; entonces podemos factorizarlo como P(x) = -2(x-2)(x+3)(x+4) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-4], [-4,-3], [-3,2] y [2,+\infty]. Tomando todas las consideraciones del ejemplo anterior y además, tomando en cuenta que el factor -2 es un número negativo constante, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada como

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos [-4,-3] ó [2,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

[-4,-3] \cup [2,+\infty)


Cuando le llamas «Tabla de Análisis de Signo»

Inecuaciones con Valor Absoluto (2 de 2)

¡Acotemos las soluciones!

Consideremos el segundo caso de las ecuaciones con valor absoluto, es decir, aquellas ecuaciones cuya relación viene establecida por la desigualdad menor que. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es menor que 3 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 3

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 3. Sin embargo, si consideramos 2 o 1 entonces estos números si satisfacen la inecuación, ¿podemos decir que cualquier menor que 3 satisface la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -2, -1 ó 0 entonces estos números también satisfacen la inecuación entonces podemos notar que cualquier número que sea menor que 3 y a su vez mayor que -3 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números menores que a y todos los números mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

En general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|<c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

La solución viene dada por cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la intersección de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+2|<2.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+2<2 \Rightarrow x<2-2 \Rightarrow x<0 (1)
y
x+2>-2 \Rightarrow x>-2-2 \Rightarrow x>-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

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Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

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La solución general viene dada por la intersección de estas dos soluciones, es decir, todos los valores mayores que -4 y todos los valores menores que 0,

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |3x-3|\leq6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

3x - 3 \leq 6 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3 (1)
y
3x - 3 \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Solución (1):

(-\infty,3]

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Solución (2):

[-1,+\infty)

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Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

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Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |7x-11| < - 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es menor que un número negativo? La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío: \emptyset .


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Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos excluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, no existe ningún número real cumpla con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1| < -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1 < -x+3 \Rightarrow 2x+x < 3+1 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3} (1)
y
2x-1 > -(-x+3) \Rightarrow 2x-1 > x-3 \Rightarrow 2x-x > -3+1 \Rightarrow x > -2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty, \frac{4}{3} \right) \cap (-2, +\infty) = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

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Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales -x+3 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

-x+3 \geq 0 \Rightarrow -x \geq -3 \Rightarrow x \leq 3 \Rightarrow x \in (-\infty,3]

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La solución general viene dada por la intersección de estos conjuntos:

\left( -2 , \frac{4}{3} \right) \cap (-\infty,3] = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

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Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \leq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \leq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \leq 1-2 \Rightarrow -7x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \geq \frac{1}{7} (1)
y
-3x+2 \geq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \geq -1-2 \Rightarrow x \geq -3 (2)

Solución (1) y (2):
[ \frac{1}{7} , +\infty ) \cap [ - 3 , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , +\infty )

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Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales 4x+1 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

4x+1 \geq 0 \Rightarrow 4x \geq -1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left[ -\frac{1}{4} , +\infty \right)

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La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

[ \frac{1}{7} , + \infty ) \cap [ -\frac{1}{4} , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , + \infty )

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Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \leq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \leq x+4 \Rightarrow x-x \leq 4+2 \Rightarrow 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4 (1)
y
x-2 \geq -(x+4) \Rightarrow x-2 \geq -x-4 \Rightarrow x+x \geq -4+2 \Rightarrow 2x \geq -2 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq 4, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right) = \mathbb{R}

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Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales x+4 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales x+4 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \Rightarrow x \in \left( -4 , +\infty \right)

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La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cap \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

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Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| < x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 < x-6 \Rightarrow x-x < -6-3 \Rightarrow 0 < -9 \Rightarrow 0 < -9 (1)
y
x+3 > -(x-6) \Rightarrow x+3 > -x+6 \Rightarrow x+x > 6-3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 < -9, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right] = \emptyset

Por lo tanto, no existe ningún número real que cumpla con la desigualdad planteada.


Inecuaciones con Valor Absoluto (1 de 2)

Valores tanto de un lado como del otro.

Hemos notado que al trabajar con inecuaciones, éstas tienen un comportamiento cuando consideramos las desigualdades mayor que (>, \geq) y otro cuando consideramos las desigualdades menor que (<, \leq).

Veamos entonces este primer caso. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es mayor que 7 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| > 7

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 2 no la satisface, pues |2|=2 y 2 no es mayor que 7. Sin embargo, si consideramos 8, 9, 10 u 11 entonces estos números sí satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número mayor que 5 satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -8, -9, -10, -18 ó -30 entonces estos números también satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número menor que -7 satisface la inecuación. Con esto podemos concluir que cualquier número que sea mayor que 7 o menor que -7 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números mayores que a ó todos los números menores que a, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

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el valor absoluto de x es mayor que a

De forma aún más general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|>c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

La solución viene dada por la solución de cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |x+3| > 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3>1 \Rightarrow x>1-3 \Rightarrow x>-2 (1)
ó
x+3<-1 \Rightarrow x<-1-3 \Rightarrow x<-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

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Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores menores que -4, formalmente,

(-\infty,-4)

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La solución general viene dada por la unión de estas dos soluciones, es decir, todos los valores menores que -4 junto todos los valores mayores que -2,

(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |4x+1| \geq 7.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

4x+1>7 \Rightarrow 4x>6 \Rightarrow x>\frac{3}{2} (1)
ó
4x+1<-7 \Rightarrow 4x<-8 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1):

\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

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Solución (2):

(-\infty,-2]

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Solución General:
(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

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Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |-2x+16| > -8.

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es mayor que un número negativo? La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

\mathbb{R} = (-\infty,+\infty).


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Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos incluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, cualquier número real cumple con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1|> -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1>-x+3 \Rightarrow 2x+x>3+1 \Rightarrow 3x>4 \Rightarrow x>\frac{4}{3} (1)
ó
2x-1<-(-x+3) \Rightarrow 2x-1<x-3 \Rightarrow 2x-x<-3+1 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

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Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0, es decir,

-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)

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La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

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Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \geq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \geq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \geq 1-2 \Rightarrow -7x \geq -1 \Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \leq \frac{1}{7} (1)
ó
-3x+2 \leq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \leq -1-2 \Rightarrow x \leq -3 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]

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Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0, es decir,

4x+1 < 0 \Rightarrow 4x<-1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)

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La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]

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Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \geq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \geq x+4 \Rightarrow x-x \geq 4+2 \Rightarrow 0 \geq 4 \Rightarrow 0 \geq 4 (1)
ó
x-2 \leq -(x+4) \Rightarrow x-2 \leq -x-4 \Rightarrow x+x\leq-4+2 \Rightarrow 2x \leq -2 \Rightarrow x \leq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq 4, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]

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Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales x+4 < 0, es decir,

x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)

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La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

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Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| > x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 > x-6 \Rightarrow x-x> -6-3 \Rightarrow 0 > -9 \Rightarrow 0 > -8 (1)
ó
x+3 < -(x-6) \Rightarrow x+3<-x+6 \Rightarrow x+x < 6-3 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq -8, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}

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Notemos que si incluimos los valores de x para los cuales x-6<0, la solución seguirá siendo la misma.