Intervalos

  1. ¡Acotemos conjuntos numéricos!
  2. Intervalos no acotados
    1. Intervalo abierto en a, hasta más infinito
    2. Intervalo cerrado en a, hasta más infinito
    3. Intervalo abierto en a, desde menos infinito
    4. Intervalo cerrado en a, desde menos infinito
  3. Intervalos acotados
    1. Intervalo abierto
    2. Intervalo semicerrado o semiabierto
    3. Intervalo semicerrado o semiabierto
    4. Intervalo cerrado
  4. Ejemplo

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares pues al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

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Intervalos no acotados

Definimos los intervalos no acotados, como aquellos intervalos que contienen a todos los números mayores que un número fijo. Formalmente, sea a un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a, hasta más infinito

\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que a, pero no contiene a a. Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, hasta más infinito

\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que a, y sí contiene a a. Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo abierto en a, desde menos infinito

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (excluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que a, pero no contiene a a. Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, desde menos infinito

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (incluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que a, y sí contiene a a. Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

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Intervalos acotados

Sentando base en los intervalos que van hasta o desde el infinito, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales a y b tal que a < b, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = (a,b)
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que a y menores que b al mismo tiempo. Además, no contiene a a y no contiene a b. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

[a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = [a,b)
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que a y menores que b al mismo tiempo. Además, sí contiene a a y no contiene b. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b] = (a,b]
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que a y menores que b al mismo tiempo. Además, no contiene a a y sí contiene b. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b)= [a,b]
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que a y menores que b al mismo tiempo. Además, sí contiene a a y sí contiene b. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

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De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos y así, facilitar su ilustración de una forma más intuitiva. Veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.

Ejemplo

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

-1 \leq 10-4x < 22

Ecuación 1

-1 \leq 10-4x

-1 -10 \leq -4x

-11 \leq -4x

\frac{-11}{-4} \geq x

\frac{11}{4} \geq x

x \leq \frac{11}{4}

Solución 1:

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]

Ecuación 2

10-4x < 22

-4x < 22-10

-4x < 12

-4x < 12

x > \frac{12}{-4}

x > -3

Solución 2:

(-3,+\infty)

Por lo tanto, la solución de la inecuación -1 \leq 10-4x < 22 viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]  \cap (-3,+\infty) = \left( -3,\frac{11}{4} \right]

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