Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Lineales con Valor Absoluto

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Calcule el conjunto solución de la inecuación planteada. Escriba el conjunto solución de forma comprensiva y dibuje en la recta real, una representación gráfica de dicho conjunto.

  1. |x| < 1
  2. |x| \leq -4
  3. |x| > -5
  4. |x| \geq 2

  1. |x - 7| < 4
  2. |x - 3| \leq -7
  3. |x - 3| > -10
  4. |x + 2| \geq 1

  1. |10 - 4 x| < 10 - 4 x
  2. |7 x + 6| \leq 8 + 4 x
  3. |2 x - 10| > 1 - 10 x
  4. |- 3 x - 9| \geq 7 x - 10

  1. |9 x + 5| < 8 x + 8
  2. |- x - 8| \leq 10 x + 2
  3. |10 - 4 x| > 7 x + 9
  4. |2 - 3 x| \geq - x - 6

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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Polinómicas (Tabla de Signos)

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Calcule la solución de la ecuación polinómica planteada (igualando toda la expresión a cero, agrupando todos los elementos en el lado izquierdo de la igualdad) y posteriormente factorice la expresión polinómica resultante para usar una Tabla de Análisis de Signos. Escriba los conjuntos solución y además, represente la solución gráficamente en la recta real.

  1. x^{2} - 9 x + 25 < x + 1
  2. x^{2} + 9 x + 3 \leq x - 4
  3. x^{2} - 3 x - 41 > x - 9
  4. x^{2} + 2 x - 4 \geq x + 2

  1. - 7 x^{2} - 23 x - 30 < - 3 x^{2} + 21 x + 90
  2. 6 x^{2} + 105 x + 450 \leq 9 x^{2} + 135 x + 450
  3. x^{2} - 17 x + 82 > 2 x^{2} - 18 x + 40
  4. - 4 x^{2} - 52 x - 288 \geq 4 x^{2} - 4 x - 224

  1. - 9 x^{3} + 3 x^{2} + 360 x + 636 < - 8 x^{3} + 8 x^{2} + 368 x + 640
  2. 3 x^{3} - 180 x^{2} - 529 x - 1534 \leq 8 x^{3} - 80 x^{2} + 136 x - 64
  3. 2 x^{3} - x^{2} - 142 x - 75 > 3 x^{3} + 12 x^{2} - 111 x - 120
  4. x^{3} - 117 x^{2} + 422 x + 3600 \geq 9 x^{3} - 117 x^{2} - 90 x + 3600

  1. 9 x^{4} - 12 x^{3} - 81 x^{2} + 2628 x - 3360 < 3 x^{4} + 42 x^{3} + 183 x^{2} + 252 x
  2. 12 x^{4} + 62 x^{3} - 194 x^{2} - 570 x + 2250 \leq 7 x^{4} + 77 x^{3} + 21 x^{2} - 945 x
  3. 3 x^{4} - 20 x^{3} - 122 x^{2} + 90 x + 5040 > 10 x^{4} - 90 x^{3} - 570 x^{2} + 4570 x + 5040
  4. 7 x^{4} - 6 x^{3} - 556 x^{2} + 1392 x + 1920 \geq x^{4} - 16 x^{2}

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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Cuadráticas

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras. Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, escriba los conjuntos solución y además, represente la solución gráficamente en la recta real.

  1. \left(x - 6\right) \left(x - 3\right) \geq 0
  2. \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) > 0
  3. \left(x + 1\right) \left(x + 5\right) < 0
  4. \left(x + 1\right) \left(x + 6\right) \leq 0

  1. - 8 \left(x - 5\right) \left(x - 1\right) < 0
  2. 9 \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \geq 0
  3. 3 \left(x - 7\right) \left(x + 2\right) \leq 0
  4. -7 \left(x - 7\right) \left(x + 1\right) > 0

  1. x^{2} - x - 30 < 0
  2. x^{2} + 9 x + 18 > 0
  3. x^{2} - 81 \geq 0
  4. x^{2} + 5 x - 24 \leq 0

  1. 7 x^{2} - 7 x + 42 < 0
  2. - 8 x^{2} - 56 x + 240 > 0
  3. - 4 x^{2} + 28 x - 48 \leq 0
  4. 7 x^{2} + 21 x - 280 \geq 0

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Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Lineales

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras. Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, escriba los conjuntos solución y además, represente la solución gráficamente en la recta real.

  1. x + 6 < 5
  2. x + 1 > 7
  3. x + 3 \leq 8
  4. x + 2 \geq 4

  1. 11 - x \geq 54
  2. 25 - x > 12
  3. 41 - x < 96
  4. 32 - x \leq 71

  1. 2x + 6 < 15
  2. 8x + 1 > 27
  3. 6x + 3 \geq 88
  4. 10x + 2 \leq 74
  1. 32 - 5x < -71
  2. 41 - 6x > -96
  3. 25 - 7x \leq -12
  4. 11 - 8x \geq -54
  1. 8x - 2 < 5x + 4
  2. 2x - 3 \geq 8 - 2x
  3. 3x - 7 > -x + 1
  4. 9x - 6 \leq 5 + 3x
  1. 25 < x + 102 < 300
  2. 45 \leq x + 65 < 78
  3. 12 < x + 20 \leq 39
  4. 78 \leq x + 45 \leq 255

  1. 78 > x + 45 > -255
  2. 12 \geq x + 20 > -39
  3. 45 > x + 65 \geq -78
  4. 25 \geq x + 102 \geq -300

  1. 45 < 2x + 10 < 50
  2. 10 < 6x + 2 \leq 21
  3. 25 \leq 3x + 5 < 30
  4. 8 \leq 9x + 45 \leq 67

  1. -78 > -2x + 45 > -255
  2. -12 > -5x + 20 \geq -39
  3. -45 \geq -7x + 65 > -78
  4. -25 \geq -3x + 102 \geq -300

  1. 45 \leq 4 - 3x \leq 50
  2. 10 > 5 + 5x \geq 21
  3. 25 < 7 + 2x < 30
  4. 8 < 10 - 6x \leq 67

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Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values ​​p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma ax^2+bx+c=0 para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

-x^2 + px + 3 = (x+2)^2

\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4

\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0

\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0

\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

b^2-4 \cdot a \cdot c > 0

Entonces, identificando a=2, b=-(p+4) y c=1, tenemos que

\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0, pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de p para los cuales \left( p+4 \right)^2 \leq 8 y estos son: -2, -3, -4, -5 y -6; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos p=-2, tenemos que

\left( -2+4 \right)^2 < 8

\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8

\Rightarrow 4 < 8

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que p puede tomar son todos los enteros mayores que -2 o todos los valores enteros menores que -6, es decir, todos los valores de p tales que

p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty), con p \in \mathbb{Z}

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, -2, -3, -4, -5 y -6; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

-2 -3 -4  -5 -6 = -20

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.