Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values ​​p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma ax^2+bx+c=0 para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

-x^2 + px + 3 = (x+2)^2

\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4

\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0

\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0

\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

b^2-4 \cdot a \cdot c > 0

Entonces, identificando a=2, b=-(p+4) y c=1, tenemos que

\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0, pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de p para los cuales \left( p+4 \right)^2 \leq 8 y estos son: -2, -3, -4, -5 y -6; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos p=-2, tenemos que

\left( -2+4 \right)^2 < 8

\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8

\Rightarrow 4 < 8

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que p puede tomar son todos los enteros mayores que -2 o todos los valores enteros menores que -6, es decir, todos los valores de p tales que

p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty), con p \in \mathbb{Z}

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, -2, -3, -4, -5 y -6; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

-2 -3 -4  -5 -6 = -20

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

Desigualdades

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

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Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo > y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro. Por ejemplo:

  • 10 > 8, se lee diez es mayor que ocho.
  • 3 > -9, se lee tres es mayor que menos nueve.
  • -5 > -16, se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo \geq y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 7 \geq 4, se lee siete es mayor o igual que cuatro.
  • 10 \geq -7, se lee diez es mayor o igual que menos siete.
  • -1 \geq -4, se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
  • 3 \geq 3, se lee tres es mayor o igual que tres.
  • -8 \geq -8, se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo < y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro. Por ejemplo:

  • 2 < 5, se lee dos es menor que 5.
  • -13 < 0, se lee menos trece es menor que cero.
  • -6 < -2, se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo \leq y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 11 \leq 20, se lee diez es menor o igual que veinte.
  • -3 \leq 14, se lee menos tres es menor o igual que catorce.
  • -22 \leq -9, se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
  • 6 \leq 6, se lee seis es menor o igual que seis.
  • -10 \leq -10, se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, vamos más allá y establecer relaciones entre números que no conocemos, para esto planteamos inecuaciones.


Tabla de Signos

Para calcular la solución de una inecuación lineal basta con seguir los pasos usados para calcular la solución de una ecuación lineal, para calcular la solución de una inecuación cuadrática el proceso no resulta tan trivial pues el producto de los factores involucrados nos invita a estudiar uno a uno los casos que se presentan. De esta forma, podemos notar que a medida que los polinomios involucrados en la inecuación tienen mayor grado, son más los casos que debemos considerar. Es por esto que debemos considerar un método que nos facilite las cuentas.

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Consideremos inecuaciones en las que el mayor exponente involucrado es mayor que 2, es decir, aquellas inecuaciones que se expresan de la siguiente forma:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0

Donde «>» representa ecualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq; a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0 son números reales y n>2.

Es posible determinar los valores que satisfacen la desigualdad factorizando el polinomio P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 tal como lo hicimos con las inecuaciones cuadráticas, sin embargo, este método puede ser tedioso debido a todos los casos que hay que considerar, es por esto que desarrollaremos un método más sofisticado que nos permitirá estudiar donde el polinomio P(X) es positivo o negativo, a esto le llamaremos estudiar el signo del polinomio.

En los siguientes ejemplos usaremos una tabla de análisis de signos o simplemente tabla de signos (vulgarmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) está basada en el Teorema de Sturm y en ella veremos como se comporta el signo del polinomio P(x) en intervalos muy particulares definidos por sus raíces.

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 es positivo. Para esto calculemos primero sus raíces usando el Método de Ruffini.

Método de Ruffini | totumat.com

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=1, x_2=-1 y x_3=-2; entonces podemos factorizarlo como P(x) = (x-1)(x+1)(x+2) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty). Para esto ubicamos cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty en la recta real de la siguiente manera:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com
Intervalos

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones horizontales. Obteniendo una tabla de la siguiente forma:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Estos renglones se reparten uno para cada factor involucrado (x-1), (x+1), (x+2) y uno para el polinomio P(x). Los ubicamos así:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de x para el cual x-1 = 0. Este valor es 1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que 1, tenemos que x-1 es negativo y para los valores de x mayores que 1, tenemos que x-1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x-1 < 0 y x-1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de x para el cual x+1 = 0. Este valor es -1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -1, tenemos que x+1 es negativo y para los valores de x mayores que -1, tenemos que x+1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+1 < 0 y x+1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el tercer factor, es decir, el valor de x para el cual x+2 = 0. Este valor es -2 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -2, tenemos que x+2 es negativo y para los valores de x mayores que -2 tenemos que x+2 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+2 < 0 y x+2 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Para cada intervalo (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty) el signo de P(X) vendrá dado por el producto de los factores que lo definen. De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

  • En la primera columna (-) \cdot (-) \cdot (-)=-
  • En la segunda columna (-) \cdot (-) \cdot (+)=+
  • En la tercera columna (-) \cdot (+) \cdot (+)=-
  • En la cuarta columna (+) \cdot (+) \cdot (+)=+

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos (-2,-1) ó (1,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

(-2,-1) \cup (1,+\infty)

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 es negativo o igual a cero. Para esto calculemos sus raíces usando el Método de Ruffini, primero sacamos factor común -2, entonces P(x) = -2(x^3 + 5x^2 - 2x - 24)

Método de Ruffini | totumat.com

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=2, x_2=-3 y x_3=-4; entonces podemos factorizarlo como P(x) = -2(x-2)(x+3)(x+4) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-4], [-4,-3], [-3,2] y [2,+\infty]. Tomando todas las consideraciones del ejemplo anterior y además, tomando en cuenta que el factor -2 es un número negativo constante, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada como

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos [-4,-3] ó [2,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

[-4,-3] \cup [2,+\infty)


Cuando le llamas «Tabla de Análisis de Signo»

Inecuaciones Cuadráticas (2 de 2)

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Caso 2: ax^2+bx+c < 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q < 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q < 0
ó
p > 0 \text{ y } q < 0

Es decir, p y q deben deben ser siempre uno negativo y otro positivo. Ya que «más por menos es menos» y «menos por más es menos». Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» (\leq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x+4) \cdot (x-1) < 0

x+4 > 0 \text{ y } x-1 < 0
ó
x+4 < 0  \text{ y }  x-1 > 0

Posteriormente despejamos la variable x de cada una de estas inecuaciones lineales e identificamos cada línea para presentar la solución de la siguiente manera:

x > -4 \text{ y } x < 1 (1)
ó
x < -4 \text{ y } x > 1 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-4,+\infty) y (-\infty,1) así

(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)

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Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-4) y (1,+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset

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la intersección de los dos conjuntos es vacía

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con (1) o todos los elementos que cumplen con (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + x - \dfrac{3}{4}  \leq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a = 1, b = 1 y c = -\dfrac{3}{4}:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ 1  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -\dfrac{ 1 }{ 2 } y x_2 = \dfrac{ 3 }{ 2 }, por lo tanto, podemos factorizar la inecuación cuadrática de la forma:

\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

Solución 1:

\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]

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Solución 2:

\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset

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Solución General:
\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]

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Inecuaciones Cuadráticas (1 de 2)

¡Retomemos la Ley de los Signos!

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas, es posible definir las inecuaciones cuadráticas considerando tres números reales a, b y c, de la siguiente forma

Inecuaciones Cuadráticas | totumat.com
Donde > pudiera ser cualquier desigualdad.

Donde «>» representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq. Tomando en cuenta que al conocer las raíces de un polinomio cuadrático, éste se puede reescribir como el producto de dos factores, plantearemos la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la ley de los signos.

Para esto hacemos dos preguntas: ¿Cuándo el producto de dos números es positivo? y, ¿cuándo el producto de dos números es negativo? Para responderlas, debemos plantear dos casos:

Caso 1: ax^2+bx+c > 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q > 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q > 0
ó
p < 0 \text{ y }  q < 0

Es decir, ambos números p y q deben ser ambos positivos o ambos negativos al mismo tiempo. Ya que «más por más es más» y «menos por menos es más». Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «mayor o igual» (\geq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x-2) \cdot (x+3) > 0

Consideremos una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado de la siguiente forma: (x-2) \cdot (x+3) > 0, Entonces, considerando los dos factores (x-2) y (x+3) tenemos que

x-2 > 0 \text{ y } x+3 > 0
ó
x-2 < 0 \text{ y } x+3 < 0

Notamos entonces que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad. Así,

x > 2 \text{ y } x > -3 (1)
ó
x < 2 \text{ y } x < -3 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución (1): Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (2,+\infty) y (-3,+\infty) así

(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

Intervalos | totumat.com
intersección de los dos intervalos

Solución (2): Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,2) y (-\infty,-3) así

(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

Intervalos | totumat.com
intersección de los dos intervalos

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)

Intervalos | totumat.com
unión de los dos intervalos

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + 6x + 8  \geq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a=1, b=6 y c=8:

x  =  \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ -6  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -2 y x_2 = -4, por lo tanto, podemos reescribir la inecuación cuadrática de la forma: (x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 )) \geq 0 que a su vez se puede expresar como

(x  +2 ) \cdot (x  +4 ) \geq 0

x+2 \geq 0 \text{ y } x+4 \geq 0 (1)
ó
x+2 \leq 0 \text{ y } x+4 \leq 0 (2)

\Rightarrow  x \geq -2 \text{ y } x \geq -4 (1)
ó
\Rightarrow  x \leq -2 \text{ y } x \leq -4 (2)

Solución (1):

[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)

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Solución (2):

(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]

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Solución General:
[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]

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Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática. Luego consideraremos el caso 2, donde estudiaremos qué ocurre si el producto de dos números es negativo.