El Valor Absoluto

¿Qué es una distancia?

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto definimos el valor absoluto de la siguiente forma:

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a se define como la distancia que hay entre éste número y el número cero, se denota por |a| y formalmente se expresa así:

Particularmente, si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que 3>0, por lo tanto |3|=3. Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que -2<0, por lo tanto |-2|=-(-2)=2.

Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: |x| = 5 , ¿qué números cumplen con dicha ecuación? Sabemos que |5|=5 pero también sabemos que |-5|=5, entonces la solución de la ecuación viene dada por el conjunto \{-5,5\} pues es el conjunto de todos los valores que satisfacen la ecuación.

Formalmente, la solución de una ecuación de la forma |x| = a viene dada por la siguiente equivalencia:

En general, al considerar una ecuación de la forma |ax+b|=c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

ecuación lineal con valor absoluto

Consideremos ahora algunos ejemplos en los que se calcula la solución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1

|x+4|=1

x+4=1 \Rightarrow x = 1-4 \Rightarrow x =-3
ó
x+4=-1 \Rightarrow x = -1-4 \Rightarrow x =-5

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \{-3,-5\}.

Ejemplo 2

|-x+5|=9

-x+5=9 \Rightarrow -x = 9-5 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4
ó
-x+5=-9 \Rightarrow -x = -9-5 \Rightarrow -x = -14 \Rightarrow x = 14

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \{-4,14\}.

Ejemplo 3

|6x-10|=5

5x-10=5 \Rightarrow 6x=5+10 \Rightarrow 6x=15 \Rightarrow x=\frac{15}{6}
ó
6x-10=-5 \Rightarrow 6x=-5+10 \Rightarrow 6x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{6}

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \left\{ \frac{5}{2} , \frac{5}{6} \right\}.

Ejemplo 4

|2x+7|=-12

Esta ecuación no tiene solución, ya que por definición el valor absoluto de un número siempre adquiere valores positivos. Entonces no existe ningún valor de x que satisfaga esta igualdad. Básicamente, la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: Nunca.


Un comentario en “El Valor Absoluto

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios .