Introducción a las ecuaciones con valor absoluto

  1. ¿Qué es una distancia?
  2. ¿Qué es el valor absoluto de un número?
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
  3. Ecuaciones con Valor Absoluto
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 3
      2. Ejemplo 4
      3. Ejemplo 5
      4. Ejemplo 6
      5. Ejemplo 7: El valor absoluto igual a un número negativo
      6. Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación
      7. Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

¿Qué es una distancia?

Si consideramos dos objetos posicionados en dos lugares distintos, siempre habrá un espacio que los separa, al espacio más pequeño que los separa, se conoce como la distancia entre ellos dos y es posible medir este espacio fijando patrones, por ejemplo: metros, kilometros, bananas, pies, pulgadas o hasta canchas de fútbol americano.

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto, debemos definir una herramienta que nos permita medir la magnitud de un número.

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¿Qué es el valor absoluto de un número?

Si a es un número real, definimos valor absoluto de a como la distancia que hay entre a número y el número cero. El valor absoluto de a se denota encerrando el número a con dos barras verticales de al siguiente manera |a| y formalmente se expresa así:

 \large \left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{lcr} a & \text{si} & a \geq 0\\ \text{\'o} & & \\ -a & \text{si} & a < 0 \end{array} } \right.

Ejemplos

Consideremos dos números, uno negativo y otro negativo, y veamos cómo calcular el valor absoluto de estos usando la definición formal:

Ejemplo 1

Si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que 3>0, por lo tanto |3|=3. Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número 3 y el número cero, es igual a 3.

Ejemplo 2

Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que -2<0, por lo tanto |-2|=-(-2)=2. Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número -2 y el número cero, es igual a 2.


Nota: El valor absoluto de cero, es igual a cero, pues la distancia entre el cero y él mismo es igual a cero. Por otra parte, el valor absoluto de cualquier número real distinto de cero, al ser una medida, siempre es un número positivo.


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Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: |x| = 5, ¿qué números son los que satisfacen la igualdad? Sabemos que |5|=5 por lo que podemos concluir que x=5 es una solución de esta ecuación. Sin embargo, debemos notar que |-5|=5, asi que podemos concluir que x=-5 también es una solución de esta ecuación.

En vista de que hay dos valores de x que satisfacen la igualdad, entonces la solución de la ecuación está definida por el conjunto \{-5,5\} pues ambos valores satisfacen la ecuación.

De forma general, si consideramos la ecuación |x| = a, entonces los valores que satisfacen esta inecuación son a y el opuesto aditivo de a, es decir, -a. Esto lo podemos expresar con la siguiente equivalencia.

\displaystyle \Large \left| x \right| =  a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = a \\ \text{\'o} \\ x = -a \end{array} } \right.

Ejemplos

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones lineales que involucran el valor absoluto de una variable.

Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|x|=7

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left| x \right| =  7 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = 7 \\ \text{\'o} \\ x = -7 \end{array} } \right.

Solución (1):

x = 7

Solución (2):

x = -7

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto \{-7,7\}.

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|x+4|=1

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 |x+4| = 1 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 4 = 1 \\ \text{\'o} \\ x + 4 = -1 \end{array} } \right.

Solución (1):

x + 4 = 1

\Rightarrow x = 1 - 4

\Rightarrow x = - 3

Solución (2):

x + 4 = -1

\Rightarrow x = -1 - 4

\Rightarrow x = - 5

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto \{-3,-5\}.

Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|-x+5|=9

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 |-x+5|=9 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} -x + 5 = 9 \\ \text{\'o} \\ -x + 5 = -9 \end{array} } \right.

Solución (1):

-x + 5 = 9

\Rightarrow -x = 9 - 5

\Rightarrow -x = 4

\Rightarrow x = - 4

Solución (2):

-x + 5 = -9

\Rightarrow -x = -9 - 5

\Rightarrow -x = -14

\Rightarrow x = 14

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto \{-4,14\}.

Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|6x-10|=5

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 |6x-10|=5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 6x - 10 = 5 \\ \text{\'o} \\ 6x - 10 = -5 \end{array} } \right.

Solución (1):

6x - 10 = 5

\Rightarrow 6x = 5 + 10

\Rightarrow 6x = 15

\Rightarrow x = \dfrac{15}{6}

\Rightarrow x = \dfrac{5}{2}

Solución (2):

6x - 10 = -5

\Rightarrow 6x = -5 + 10

\Rightarrow 6x = 5

\Rightarrow x = \dfrac{5}{6}

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto \left\{ \frac{5}{6} , \frac{5}{2} \right\}.

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Ejemplo 7: El valor absoluto igual a un número negativo

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|2x+7|=-12

Recordemos que el valor absoluto, al ser una medida, es siempre mayor o igual a cero. Por lo tanto, no existe un valor de x para el cual el valor absoluto sea igual al número negativo -12. En resumen, si nos preguntamos: ¿cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: nunca.

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|2x+1|=x+4

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta ecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta igualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 |2x+1|=x+4 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 2x + 1 = x + 4 \\ \text{\'o} \\ 2x + 1 = -(x + 4) \\ \end{array} } \right.

Solución (1):

2x + 1 = x + 4

\Rightarrow 2x = x + 4 - 1

\Rightarrow 2x = x + 3

\Rightarrow 2x - x = 3

\Rightarrow x = 3

Solución (2):

2x + 1 = -(x + 4)

\Rightarrow 2x + 1 = -x - 4

\Rightarrow 2x = -x - 4 - 1

\Rightarrow 2x = -x - 5

\Rightarrow 2x + x = - 5

\Rightarrow 3x = - 5

\Rightarrow x = - \frac{5}{3}

Considerando la expresión x+4, no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable x. Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto \left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}.

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de x para los cuales la expresión x+4 es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

  • Si x=3, entonces x+4 = 3 +4 = 7, por lo tanto x=3 sí es una solución de la ecuación.
  • Si x=-\frac{5}{3}, entonces x+4 = -\frac{5}{3} +4 = \frac{7}{3}, por lo tanto x=-\frac{5}{3} sí es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto \left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}.

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

|x+7|=2x+5

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta ecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta igualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 |x+7|=2x+5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 7 = 2x + 5 \\ \text{\'o} \\ x + 7 = -(2x + 5) \\ \end{array} } \right.

Solución (1):

x + 7 = 2x + 5

\Rightarrow x = 2x + 5 - 7

\Rightarrow x = 2x  - 2

\Rightarrow x -2x = - 2

\Rightarrow -x = - 2

\Rightarrow x = 2

Solución (2):

x + 7 = -(2x + 5)

\Rightarrow x + 7 = -2x - 5

\Rightarrow x = -2x - 5 - 7

\Rightarrow x = -2x  - 12

\Rightarrow x  + 2x  = - 12

\Rightarrow 3x = - 12

\Rightarrow x = - \frac{12}{3}

\Rightarrow x = - 4

Considerando la expresión 2x + 5, no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable x. Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto \left\{-4 , 2 \right\}.

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de x para los cuales la expresión 2x + 5 es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

  • Si x=2, entonces 2x+5 = 2(2) +4 = 4+4 = 8, por lo tanto x=2 sí es una solución de la ecuación.
  • Si x=-4, entonces 2x+5 = 2(-4) +4 = -8+4 = -4, por lo tanto x=-4 no es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto \left\{ 2 \right\}.


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