Raíz de un polinomio

¿Qué relación tienen las ecuaciones y los polinomios?

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

Evaluar el polinomio P en b.

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones para obtener como resultado un número real, veamos en los siguientes ejemplos como evaluar polinomios:

  1. Evaluar el polinomio P(x)= 3x+2 en b=3:
    P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8
  2. Evaluar el polinomio Q(x)=5x^2+2x+7 en b=-2:
    Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23
  3. Evaluar el polinomio R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3 en b=1:
    R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4

Nos interesarán algunos casos muy particulares al evaluar polinomios, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

r es la raíz del polinomio p

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

  • Si consideramos P(x)= x^2-4,
    r=1 no es una raíz del polinomio pues P(1)=1-4=-3,
    r=2 sí es una raíz del polinomio pues P(2)=(2)^2-4=4-4=0,
    r=-2 sí es una raíz del polinomio pues P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0.
  • Si consideramos P(x)=x^2+2x+1,
    r=3 no es una raíz del polinomio pues P(3)= 3)^2+2(3)+1=9+6+4=19,
    r=-1 sí es una raíz del polinomio pues P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0.
  • Si consideramos P(x)=x^4+x^2+16,
    r=1 no es una raíz del polinomio pues P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18,
  • r=-1 tampoco es una raíz del polinomio pues P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18.
    De hecho, este polinomio no tiene raíces pues notemos que x^4, x^2 y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será distinta de cero.

Observación: Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, que n=2k para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que x^n siempre será un número positivo.

Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no pero al menos podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos o más pero no más de n.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.

Un comentario sobre “Raíz de un polinomio

¿Requieres más ejemplos? ¿Tiendes dudas? No dudes en escribir.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios .