Al estudiar polinomios, estudiamos expresiones que involucran variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.
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Evaluar polinomios
Diremos que evaluar un polinomio en un número real
es sustituir la variable
por el número
, esta sustitución la denotaremos
. De esta forma, si
es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en
de la siguiente forma:
Posteriormente se pueden efectuar las operaciones indicadas en la definición del polinomio para obtener como resultado un número real. Veamos en los siguientes ejemplos cómo evaluar polinomios:
Ejemplos
Ejemplo 1
Al evaluar el polinomio en
obtenemos el siguiente resultado:
Ejemplo 2
Al evaluar el polinomio en
obtenemos el siguiente resultado:
Ejemplo 3
Al evaluar el polinomio en
obtenemos el siguiente resultado:
Ejemplo 3
Al evaluar el polinomio en
obtenemos el siguiente resultado:
Raíces de un polinomio
Al evaluar polinomios, será de nuestro particular interés los casos en que el resultado es exactamente igual a cero. Formalmente, definimos la raíz de un polinomio como un número real
tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real
que satisface la siguiente ecuación:
Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.
Ejemplos
Ejemplo 4
Si consideramos el polinomio ,
Si consideramos , esta no es una raíz del polinomio pues
Si consideramos , esta sí es una raíz del polinomio pues
Si consideramos , esta sí es una raíz del polinomio pues
Ejemplo 5
Si consideramos el polinomio ,
Si consideramos , esta no es una raíz del polinomio pues
Si consideramos , esta sí es una raíz del polinomio pues
Ejemplo 6
Si consideramos el polinomio ,
Si consideramos , esta no es una raíz del polinomio pues
Si consideramos , esta no es una raíz del polinomio pues
De hecho, este último polinomio no tiene raíces pues notemos que ,
y
son números positivos, por lo tanto su suma siempre será mayor que cero.
Diremos que es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, tal que
para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que
siempre será un número positivo.
Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no, sin embargo, podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener un polinomio, y es que si consideramos un polinomio de grado
, entonces éste tendrá a lo sumo
raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos, tres, etcétera, pero no más de
raíces.
Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad, esto, siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.
[…] un polinomio de grado , si sus raíces son y su coeficiente principal es igual a , entonces el polinomio se puede factorizar de la […]
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