¿Qué relación tienen las ecuaciones y los polinomios?

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones para obtener como resultado un número real, veamos en los siguientes ejemplos como evaluar polinomios:

1. Evaluar el polinomio en :
   
2. Evaluar el polinomio en :
   
3. Evaluar el polinomio en :
   

Nos interesarán algunos casos muy particulares al evaluar polinomios, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

• Si consideramos ,
  no es una raíz del polinomio pues ,
  sí es una raíz del polinomio pues ,
  sí es una raíz del polinomio pues .
• Si consideramos ,
  no es una raíz del polinomio pues ,
  sí es una raíz del polinomio pues .
• Si consideramos ,
  no es una raíz del polinomio pues ,
• tampoco es una raíz del polinomio pues .
  De hecho, este polinomio no tiene raíces pues notemos que , y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será distinta de cero.

Observación: Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, que para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que siempre será un número positivo.

Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no pero al menos podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos o más pero no más de n.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.