Ecuaciones

Raíz de un polinomio

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. Evaluar polinomios
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 3
  2. Raíces de un polinomio
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6

Al estudiar polinomios, estudiamos expresiones que involucran variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.

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Evaluar polinomios

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

\displaystyle P(b) = a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{2} b^{2}+ a_{1} x + a_{0}

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones indicadas en la definición del polinomio para obtener como resultado un número real. Veamos en los siguientes ejemplos cómo evaluar polinomios:

Ejemplos

Ejemplo 1

Al evaluar el polinomio P(x)= 3x+2 en b=3 obtenemos el siguiente resultado:

P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8

Ejemplo 2

Al evaluar el polinomio Q(x)=5x^2+2x+7 en b=-2 obtenemos el siguiente resultado:

Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3 en b=1 obtenemos el siguiente resultado:

R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio S(x)= x^3 - 3x^2 - x +3 en b=-1 obtenemos el siguiente resultado:

S(-1)= (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) +3 = -1-3+1+3 = 0

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Raíces de un polinomio

Al evaluar polinomios, será de nuestro particular interés los casos en que el resultado es exactamente igual a cero. Formalmente, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

P(r)=0

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos el polinomio P(x)= x^2-4,

Si consideramos r=1, esta no es una raíz del polinomio pues

P(1)=1-4=-3

Si consideramos r=2, esta sí es una raíz del polinomio pues

P(2)=(2)^2-4=4-4=0

Si consideramos r=-2, esta sí es una raíz del polinomio pues

P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0

Ejemplo 5

Si consideramos el polinomio P(x)=x^2+2x+1,

Si consideramos r=3, esta no es una raíz del polinomio pues

P(3)= (3)^2+2(3)+1=9+6+4=19

Si consideramos r=-1, esta sí es una raíz del polinomio pues

P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0

Ejemplo 6

Si consideramos el polinomio P(x)=x^4+x^2+16,

Si consideramos r=1, esta no es una raíz del polinomio pues

P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18

Si consideramos r=-1, esta no es una raíz del polinomio pues

P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18

De hecho, este último polinomio no tiene raíces pues notemos que x^4, x^2 y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será mayor que cero.

Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, tal que n=2k para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que x^n siempre será un número positivo.

Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no, sin embargo, podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener un polinomio, y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos, tres, etcétera, pero no más de n raíces.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad, esto, siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.

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3 comentarios en “Raíz de un polinomio”

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