Introducción a las Ecuaciones Lineales

  1. ¿Qué es una ecuación?
  2. ¿Cómo se halla la solución de una ecuación?
    1. Sumamos o restamos en ambos lados de la igualdad
    2. Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad

¿Qué es una ecuación?

Al considerar de la Ley de Tricotomía de los números reales, hemos visto que al considerar dos números reales, existen tres tipos de relaciones entre ellos dos: el primero es menor que el segundo, el primero es mayor que el segundo o el primero es igual al segundo.

En esta ocasión, nos enfocaremos en la relación de igualdad, pues esta nos permite plantear ciertas situaciones de forma matemática, para posteriormente, desarrollar estrategias que permitan solventar dichas situaciones.

Formalmente, definimos una ecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una igualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras x, y o z; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. De esta forma, podemos plantear una ecuación de la siguiente forma:

x + 3 = 5

Esta ecuación plantea de forma tácita la siguiente pregunta: «¿cuál es ese número tal que al sumarle tres, el resultado es igual a 5?». La respuesta salta a la vista, pues intuitivamente sabemos que ese número es igual a dos. Sin embargo, la idea de plantear ecuaciones es la de desarrollar métodos lógico-deductivos que permitan calcular dichos valores desconocidos en problemas más complejos. Entonces, es necesario plantear la siguiente pregunta:

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¿Cómo se halla la solución de una ecuación?

Sumamos o restamos en ambos lados de la igualdad

Suponga que usted vive en un país donde la moneda local es el Perolito (Ps). Suponga además que usted tiene activados ciertos servicios en su celular y que la renta básica mensual es de 83 Ps. De un mes a otro la renta básica mensual le aumentó a 132 Ps. ¿Cuánto fue el monto que le aumentó? Lo natural es tomar la renta nueva y restarle la antigua, de este modo obtenemos 49. Seguidamente usted exclamará: «¡Me subieron la renta 49 perolitos, qué ultraje!».

Si a este valor desconocido lo representamos con la letra x, esta situación se puede plantear de la siguiente manera:

83 + x = 132
ochenta y tres más equis es igual a ciento treinta y dos

Entonces si x es nuestra incógnita y; 83 y 132 dos valores que sí conocemos, ¿podemos hallar este valor que desconocemos considerando la ecuación antes planteada? Sí se puede y el procedimiento es el siguiente:

Partiendo de la ecuación original, sabemos que la suma es conmutativa, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos sumando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión 83 + x =132 es equivalente a

x + 83 = 132

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 132 perolitos en su cartera y 132 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces si de ambos extrae la cantidad de 83 perolitos, en ambos lugares tendrá exactamente la misma cantidad.

Básicamente, estamos diciendo que si usted resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,

x + 83 - 83 = 132 - 83

Podemos asociar la suma que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

x + (83 - 83) = 49

Recordando que al sumar un número real con su opuesto aditivo el resultado es exactamente cero, entonces

x + 0 = 49

Pero sabemos que el cero es el elemento neutro de la suma, por lo tanto, al sumarle cero a cualquier número el resultado será justamente ese número, así

x = 49

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 49, tal como desde un principio lo habíamos intuido. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma x + a = b, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

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Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad

Suponga que usted quiere comprarse una licuadora que cuesta 2400 Ps. y consigue un empleo temporal donde le pagan 120 Ps. por cada hora de trabajo, ¿cuántas horas deberá trabajar para poder comprarse la licuadora? Suponiendo que x es la cantidad de horas que usted debe trabajar, esta situación la podemos plantear con una ecuación de la siguiente manera:

120 \cdot x = 2400
ciento veinte por equis es igual a dos mil cuatrocientos

¿Cómo podemos hallar este valor que desconocemos? Partiendo de la ecuación original, sabemos que el producto es conmutativo, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión 120 \cdot x = 2400 es equivalente a

x \cdot 120 = 2400

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 2400 perolitos en su cartera y 2400 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces una ciento veinteava parte en ambos lugares será exactamente la misma cantidad.

Básicamente, estamos diciendo que si usted divide por el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,

\dfrac{ x \cdot 120}{120} = \dfrac{2400}{120}

Podemos reescribir el producto que se encuentra en el numerador del lado izquierdo de la igualdad como un producto de fracciones y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

\dfrac{x}{1} \cdot  \dfrac{120}{120} = 20

Podemos notar que dividir un número entre él mismo es lo mismo que multiplicar un número real con su opuesto aditivo, por lo que frac{120}{120} es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es el mismo número, entonces

x \cdot 1 = 20

Pero sabemos que el uno es el elemento neutro del producto, por lo tanto, al multiplicar cualquier número por uno el resultado será justamente ese número, así

x = 20

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 20, es decir, deberá trabajar durante 20 horas para poder reunir 2400 Ps. y comprar la licuadora de sus sueños. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma a \cdot x = b, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

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A este tipo de ecuaciones las llamamos Ecuaciones Lineales y se caracterizan porque la única alteración que afecta a la incógnita x es la suma o multiplicación de constantes. Posteriormente, veremos que este tipo de ecuaciones está íntimamente relacionada con la gráfica de una línea recta.


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