Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Lineales

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Calcule la solución de las siguientes ecuaciones lineales usando en cada paso los Axiomas Algebraicos de los Números Reales, explique cada paso con sus propias palabras.

  1. x + 6 = 9
  2. x - 9 = 6
  3. x + 5 = -10
  4. x - 3 = -30

  1. 7x + 1 = 10
  2. 5x - 4 = 5
  3. 4x + 10 = -5
  4. 4x - 7 = -15

  1. 2 + x = 3
  2. 7 - 6x = 10
  3. -8 + 16x = -7
  4. 3 - 8x = -9
  1. 3 + x = 8x
  2. 2 - 8x = 9x
  3. -5 + 81x = -9x
  4. 2 - 18x = -4x

  1. 1 + x = 18 + 8x
  2. 2 - 8x = 2 + 2x
  3. 6 - 5x = 9 - 9x
  4. -3 + 9x = -6 - 6x

  1. 3 + 11x = 8 + 8x - 10x
  2. 12 - 81x = 21x + 2x
  3. 6x - 5x + 10 = 9 - 9x
  4. -3x + 9x + 20 = 12x -16 - 6x

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El Número e

Las grandes constantes matemáticas

Las grandes constantes matemáticas provienen en su mayoría de relaciones geométricas por ejemplo, la constante de Pitágoras \sqrt{2} es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ambos catetos igual a 1, \pi es la proporción de la longitud de arco de una circunferencia entre su diámetro y el número de oro \Phi que define la proporción áurea (dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades).

Sin embargo, otras constantes que no provienen de este tipo de relaciones.

El interés compuesto

Suponga que usted invierte un capital P en un banco que ofrece un plan de plazo fijo con una tasa de interés compuesto del r \% anual. Entonces, Al final del primer año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P), es decir,

P + \frac{r}{100} \cdot P

Y notando que podemos sacar a P como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Al final del segundo año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) ), es decir,

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) + \frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Y notando que podemos sacar a P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) \left( 1 + \frac{r}{100}\right) = P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^2

Si continuamos razonando de esta manera, podemos concluir que al final del tercer año usted habrá acumulado P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^3, al final del cuarto año P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^4 y así de forma sucesiva, podemos decir que al final del n-ésimo año habrá acumulado

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^n

Un caso particular

Esta fórmula nos provee una forma general de calcular el capital acumulado con una tasa de interés r al cabo de n periodos de tiempo. Consideremos un caso muy particular, en el que tomamos un perolito (moneda oficial de totumat) y los invertimos en un banco que ofrece una tasa de interés del 100% anual. Entonces, al cabo de un año habremos acumulado

\left( 1 + 1 \right)^1 = 2

Supongamos ahora que este banco, ofrece una tasa de interés del 50% semestral, de esta forma, al final del año han culminado dos periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2,25

Notamos que al final del año se habrá acumulado un capital mayor por lo que parece atractiva la idea de segmentar el año más cuotas de interés, entonces si consideramos una tasa de interés del 33.333% cuatrimestral, al final del año han culminado tres periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{3}\right)^3 = 2,37

Podemos razonar de esta manera de forma sucesiva, partiendo el año en periodos más pequeños para maximizar nuestro capital acumulado, sin embargo, observemos cuidadosamente lo que ocurre

\left( 1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 2.44
\left( 1 + \frac{1}{12}\right)^{12} =  2,61
\left( 1 + \frac{1}{52}\right)^{52} = 2,69
\left( 1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{31536000}\right)^{31536000} = 2,71

Si bien el capital acumulado aumenta a medida que segmentamos el año, éste tiende a estancarse incluso si estamos acumulando intereses de forma continua en el tiempo. Lo que que han descubierto las matemáticas es que a medida que n tiende a infinito, la expresión \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n tiende a un número particular que se conoce como la Constante de Euler o Constante de Napier. De forma general, tenemos que

El número \textit{\Large e} tiene gran importancia en las matemáticas ya que este representa el crecimiento natural de las cosas. Además cuenta con propiedades muy ricas en el cálculo diferencial e integral.


Introducción a las Ecuaciones (2 de 2)

¿Dividimos o multiplicamos en ambos lados?

Suponga que usted quiere comprarse una licuadora que cuesta 2400 Ps. y consigue un empleo temporal donde le pagan 120 Ps. por cada hora de trabajo, ¿cuántas horas deberá trabajar para poder comprarse la licuadora? Suponiendo que x es la cantidad de horas que usted debe trabajar, esta situación la podemos plantear con una ecuación de la siguiente manera:

ciento veinte por equis es igual a dos mil cuatrocientos

¿Cómo podemos hallar este valor que desconocemos? Partiendo de la ecuación original, sabemos que el producto es conmutativo, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión 120 \cdot x = 2400 es equivalente a

x \cdot 120 = 2400

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 2400 perolitos en su cartera y 2400 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces una ciento veinteava parte en ambos lugares será exactamente la misma cantidad. Básicamente, estamos diciendo que si usted divide por el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá, entonces

\dfrac{ x \cdot 120}{120} = \dfrac{2400}{120}

Podemos reescribir el producto que se encuentra en el numerador del lado izquierdo de la igualdad como un producto de fracciones y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

\dfrac{x}{1} \cdot  \dfrac{120}{120} = 20

Podemos notar que dividir un número entre él mismo es lo mismo que multiplicar un número real con su opuesto aditivo, por lo que frac{120}{120} es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es él mismo, entonces

x \cdot 1 = 20

Pero sabemos que el uno es el elemento neutro del producto, por lo tanto, al multiplicar cualquier número por uno el resultado será justamente ese número, así

x = 20

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 20, es decir, deberá trabajar durante 20 horas para poder reunir 2400 Ps. y comprar la licuadora de sus sueños. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma a \cdot x = b, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

Introducción a las Ecuaciones | totumat.com
Pasos para hallar la solución de una ecuación simple

Introducción a las Ecuaciones (1 de 2)

¿Cómo se halla la solución de una ecuación?

Partiendo de la Ley de Tricotomía, podemos establecer varias relaciones entre dos números reales, particularmente a través de una igualdad. Esto nos da pie para plantear ciertas situaciones y estrategias para solventarlas.

Suponga que usted vive en un país donde la moneda local es el Perolito (Ps). Suponga además que usted tiene activados ciertos servicios en su celular y que la renta básica mensual es de 83 Ps. De un mes a otro la renta básica mensual le aumentó a 132 Ps. ¿Cuánto fue el monto que le aumentó? Lo natural es tomar la renta nueva y restarle la antigua, de este modo obtenemos 49. Seguidamente usted exclamará: «¡Me subieron la renta 49 perolitos, qué ultraje!».

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Si a este valor desconocido lo representamos con la letra x, esta situación se puede plantear de la siguiente manera:

ochenta y tres más equis es igual a ciento treinta y dos

Definimos entonces una Ecuación como una expresión que nos representará ciertas situaciones que relacionan un valor desconocido que llamaremos incógnita y otros valores conocidos a través de una igualdad. Entonces si x es nuestra incógnita y; 83 y 132 dos valores que sí conocemos, ¿podemos hallar este valor que desconocemos considerando la ecuación antes planteada? Sí se puede y el procedimiento es el siguiente:

Partiendo de la ecuación original, sabemos que la suma es conmutativa, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos sumando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión 83 + x =132 es equivalente a

x + 83 = 132

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 132 perolitos en su cartera y 132 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces si de ambos extrae la cantidad de 83 perolitos, en ambos lugares tendrá exactamente la misma cantidad. Básicamente, estamos diciendo que si usted resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá, entonces

x + 83 - 83 = 132 - 83

Podemos asociar la suma que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

x + (83 - 83) = 49

Recordando que al sumar un número real con su opuesto aditivo el resultado es exactamente cero, entonces

x + 0 = 49

Pero sabemos que el cero es el elemento neutro de la suma, por lo tanto, al sumarle cero a cualquier número el resultado será justamente ese número, así

x = 49

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 49, tal como desde un principio lo habíamos intuido. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma x + a = b, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

Introducción a las Ecuaciones | totumat.com
Pasos para hallar la solución de una ecuación simple

Axiomas Algebraicos de los Números Reales

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos a, b y c números reales.

Propiedades para la suma

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: a+b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
  3. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b)+c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a.
  5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0.

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Propiedades para el producto

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: a \cdot b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a  \cdot  b = b  \cdot  a.
  3. Propiedad asociativa: a  \cdot  (b  \cdot  c) = (a  \cdot  b) \cdot c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que a  \cdot  1 = 1  \cdot  a = a.
  5. Inverso multiplicativo: Para todo número real a \neq 0, existe un número real a^{-1} tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, a  \cdot   a^{-1}  =  a^{-1}   \cdot  a = 1.
  6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a  \cdot  0 = 0  \cdot  a = 0.

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

a \cdot (a + b) = a \cdot b + a \cdot c

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b
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Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si a es un número real, tendremos que:

  • Si a > 0, diremos que a es un número positivo.
  • Si a < 0, diremos que a es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.