El Punto de Intersección entre dos rectas

Si dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos rectas es el punto donde ellas dos son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ y = m_1 x + b_1$
$l_2 : \ y = m_2 x + b_2$

El punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no indagaremos sobre este tema pues notando que las rectas están expresadas de la forma pendiente ordenada, simplemente igualaremos las expresiones que las definen para posteriormente calcular el valor de las incógnitas.

Veamos con algunos ejemplos como calcular el punto de intersección entre dos rectas utilizando esta técnica.

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = 3x-3$ y $l_2 : y = -x + 1$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = 3x-3$
$l_2 : \ y = -x + 1$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$3x-3 = -x + 1$

$\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3$

$\Rightarrow \ 4x = 4$

$\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}$

$\Rightarrow \ x = 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $y$ . Sustituyamos el valor de $x=1$ en $l_1$ :

$y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0$

Notemos que si sustituimos el valor de $x=1$ en la recta $l_2$ , obtenemos el mismo valor para $y$ :

$y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = (1,0)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 2

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -4x-2$ y $l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = -4x-2$
$l_2 : \ y = \frac{1}{4}x + 3$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3$

$\Rightarrow \ -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2$

$\Rightarrow \ -\frac{17}{4}x = 5$

$\Rightarrow \ x = -\frac{20}{17}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=-\frac{20}{17}$ . Sustituyamos este valor en $l_1$ :

$y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow \ y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow \ y = \frac{46}{17}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

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Ejemplo 3

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = x+5$ y $l_2 : y = 2$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta horizontal, simplemente sustituimos el valor de $y$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $x$ . Entonces, si $y=2$ tenemos que

$2 = x+5 \Rightarrow \ -x = 5-2 \Rightarrow \ -x = 3 \Rightarrow \ x = -3$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -3 , 2 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 4

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2$ y $l_2 : x = -1$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta vertical, simplemente sustituimos el valor de $x$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $y$ . Entonces, si $x=-1$ tenemos que

$y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow \ y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow \ y = \frac{11}{5}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 5

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -3$ y $l_2 : x = 4$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_1$ una recta horizontal y $l_2$ una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de intersección entre ellas dos es $(4,-3)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Hemos visto los casos de intersecciones donde las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$
$l_2 : \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

Nuevamente, el punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Sin embargo, la forma de abordar este tipo de casos es ligeramente diferente a caso pendiente-ordenada.

En estos casos no tiene sentido igualar la dos expresiones que definen las rectas, así que la técnica para hallar la solución consiste en efectuar operaciones entre ambas ecuaciones para anular una de las dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones.

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$ y $l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 2 x + 2 y - 1 = 0$
$l_2 : \ - 2 x + y + 4 = 0$

En este caso particular, podemos notar que en una ecuación está la expresión $2x$ y en la otra, la expresión $-2x$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $y$ , y así obtener el valor $y_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x + 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y = -3$

$\Rightarrow \ y = -\frac{3}{3}$

$\Rightarrow \ y = - 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y=-1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y=-1$ en $l_1$ :

$2 x + 2 (-1) - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 2 - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 3 = 0$

$\Rightarrow \ 2x = 3$

$\Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

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Ejemplo 7

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$ y $l_2 : x + y - 2 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ x + y - 2 = 0$

En el caso anterior pudimos anular con relativa sencillez la variable $x$ pero en este caso particular, podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por $5$ obtenemos

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ 5x + 5y - 10 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $-5y$ y en la otra, la expresión $5y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$8x + 0y - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8x - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8y = 8$

$\Rightarrow \ y = \frac{8}{8}$

$\Rightarrow \ y = 1$

$3 (1) - 5 y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ 3 - 5y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ -5x + 5 = 0$

$\Rightarrow \ -5x = -5$

$\Rightarrow \ x = \frac{-5}{-5}$

$\Rightarrow \ x = 1$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( 1, 1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 8

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0$ y $l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 6 x - 5 y + 4 = 0$
$l_2 : \ 4 x + 3 y - 5 = 0$

En este caso debemos notar que las variables están acompañadas por distintos coeficientes, así que no basta con multiplicar sólo una ecuación para anular términos. Debemos entonces, multiplicar ambas ecuaciones por números que nos ayuden a anular sumandos. Multipliquemos la primera ecuación por $4$ y la segunda ecuación por $-6$ .

$l_1 : \ 24 x - 20 y + 16 = 0$
$l_2 : \ -24 x - 18 y + 30 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $24x$ y en la otra, la expresión $-24y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x - 38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y = -36$

$\Rightarrow \ y = \frac{38}{36}$

$\Rightarrow \ y = \frac{19}{18}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y = \frac{19}{18}$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y = \frac{19}{18}$ en $l_2$ :

$4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x - \frac{11}{6} = 0$

$\Rightarrow \ 4 x = \frac{11}{6}$

$\Rightarrow \ x = \frac{11}{24}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

8 comentarios en “El Punto de Intersección entre dos rectas”

Matemática I – Sección 01 – Semestre B2022 – totumat dice:

22.10.2022 a las 12:16 am

[…] El Punto de Intersección entre dos rectas […]

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

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