Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de costos e ingresos

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando la ecuación lineal de costos totales C y la ecuación lineal de ingresos totales I, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia. Grafique ambas rectas, señalando el punto de equilibrio.

  1. C : p = \frac{4}{5}q+62 \text{ y } I : p = 66q
  2. C : p = 7q+52 \text{ y } I : p = \frac{292}{3}q
  3. C : p = \frac{17}{6}q+32 \text{ y } I : p = \frac{98}{3}q
  4. C : p = \frac{23}{4}q+26 \text{ y } I : p = 36q
  1. C : p = \frac{1}{10}q+31 \text{ y } I : p = \frac{48}{5}q
  2. C : p = \frac{11}{2}q+19 \text{ y } I : p = \frac{189}{8}q
  3. C : p = 5q+59 \text{ y } I : p = 84q
  4. C : p = \frac{9}{2}q+13 \text{ y } I : p = \frac{80}{3}q
  1. C : p = \frac{69}{4}q+26 \text{ y } I : p = \frac{475}{4}q
  2. C : p = \frac{54}{5}q+6 \text{ y } I : p = 48q
  3. C : p = \frac{23}{3}q+29 \text{ y } I : p = 52q
  4. C : p = \frac{57}{4}q+13 \text{ y } I : p = 35q
  1. C : p = \frac{21}{8}q+21 \text{ y } I : p = \frac{105}{4}q
  2. C : p = \frac{7}{3}q+43 \text{ y } I : p = \frac{128}{9}q
  3. C : p = \frac{23}{9}q+51 \text{ y } I : p = \frac{74}{3}q
  4. C : p = 5q+78 \text{ y } I : p = 62q
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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de demanda y oferta

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando la ecuación de demanda l_d y la ecuación de oferta l_o, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes. Grafique ambas rectas, señalando el punto de equilibrio y las áreas que representan los excedentes.

  1. l_{o} : p = \frac{137}{11}q+58 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{193}{11}q+232. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 8 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{28}{11}q+64 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{169}{11}q+192. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 10 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = 17q+36 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{1}{2}q+72. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = 71q+80 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{229}{4}q+320. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{57}{2}q+17 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{7}{2}q+68. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{167}{8}q+64 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{179}{8}q+256. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 1 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{46}{11}q+82 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{296}{11}q+328. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 5 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{26}{9}q+12 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{17}{9}q+36. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 7 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{88}{7}q+60 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{226}{7}q+300. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = 37q+48 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{53}{11}q+144. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{107}{9}q+69 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{119}{9}q+207. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 5 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{227}{4}q+49 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{29}{4}q+98. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 7 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{247}{3}q+33 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{29}{3}q+99. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{141}{7}q+33 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{45}{7}q+132. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 4 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{134}{9}q+91 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{76}{3}q+273. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{25}{3}q+15 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{35}{3}q+45. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 1 Ps. por unidad.
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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – El punto de intersección entre dos rectas

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Determine si las rectas l_{i} y l_{i+1} son paralelas o no, en caso de que se corten determine si son perpendiculares y calcule el punto de intersección entre ellas; además, dibuje una representación gráfica de ambas rectas en el plano cartesiano, indicado el punto de intersección.

  1. l_{1} :y = 8 - x \text{ y } l_{2} :y = \frac{1}{2} x - 2
  2. l_{3} :y = 8x + 10 \text{ y } l_{4} :y = 8 x - 8
  3. l_{5} :y = -7 x + 9 \text{ y } l_{6} :y = \frac{1}{7} x - 6
  4. l_{7} :y = - 7 x - 9 \text{ y } l_{8} :y = 4 - 6 x
  1. l_{9} :y = - 10 x - 6 \text{ y } l_{10} :y = \frac{1}{2} x - 6
  2. l_{11} :y = 4 x - 4 \text{ y } l_{12} :y = 9 x + 1
  3. l_{13} :y = - 9 x - 9 \text{ y } l_{14} :y = -\frac{1}{7} x - 9
  4. l_{15} :y = 8 - 3 x \text{ y } l_{16} :y = 4 x - 2
  1. l_{17} :y = 5 x - 7 \text{ y } l_{18} :y = \frac{1}{2} x - 3
  2. l_{19} :y = 3 x + 1 \text{ y } l_{20} :y = 4 x + 1
  3. l_{21} :y = 8 x - 2 \text{ y } l_{22} :y = -\frac{1}{4} x + 5
  4. l_{23} :y = x + 6 \text{ y } l_{24} :y = 10 x + 8
  1. l_{25} :y = 8 x - 2 \text{ y } l_{26} :y = -\frac{1}{9} x + 9
  2. l_{27} :y = - 6 x - 2 \text{ y } l_{28} :y = 2 - 9 x
  3. l_{29} :y = 7 x + 4 \text{ y } l_{30} :y = -\frac{1}{7} x - 8
  4. l_{31} :y = 2 x - 10 \text{ y } l_{32} :y = 9 x + 4
  1. l_{33} :y = 9 x + 1 \text{ y } l_{34} :y = -\frac{1}{7} x + 6
  2. l_{35} :y = 9 x + 1 \text{ y } l_{36} :y = - 6 x - 8
  3. l_{37} :y = 2 - 2 x \text{ y } l_{38} :y = - x - 5
  4. l_{39} :y = 8 x + 4 \text{ y } l_{40} :y = 10 - 3 x
  1. l_{41} :y = 7 - 4 x \text{ y } l_{42} :y = -\frac{1}{3} x + 8
  2. l_{43} :y = 5 - 10 x \text{ y } l_{44} :y = x + 4
  3. l_{45} :y = -4 x + 2 \text{ y } l_{46} :y = \frac{1}{4} x + 4
  4. l_{47} :y = - 2 x - 8 \text{ y } l_{48} :y = 2 - 8 x
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Análisis de Equilibrio de la Utilidad

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable I, los costos totales con la variable C y la utilidad total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

U = I - C

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

  • Si U < 0, esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
  • Si U > 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
  • Si U = 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo (q) en el eje horizontal y la cantidad de dinero (p) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = \frac{3}{10}q +40 y la ecuación lineal de ingresos totales p = \frac{6}{5}q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q
\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40
\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40
\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{400}{9} en la ecuación de demanda.

p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40
= \ \frac{40}{3} + 40
= \ \frac{160}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 6q +60 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 11q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

6q +60 = 11q+0
\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60
\Rightarrow \ -5q = -60
\Rightarrow \ q = 12

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=12 en la ecuación de demanda.

p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60
= \ 72 + 60
= \ 132

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( 12 , 132 \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com
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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 20q +50 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 26q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

20q +50 = 26q
\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50
\Rightarrow \ -6q = -50
\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{25}{3} en la ecuación de demanda.

p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50
= \ \frac{500}{3} + 50
= \ \frac{650}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

El punto de equilibrio del mercado

Una vez que hemos estudiado las ecuaciones de demanda y las ecuaciones de oferta, es claro que los productores prefieren vender a un precio alto y los consumidores prefieren comprar a un precio bajo, es por esto que se debe llegar a un consenso entre ambas partes de forma que ninguna de las dos se vea perjudicada.

Recordando que estas ecuaciones definen rectas, podemos, de forma matemática, establecer este consenso definiendo el punto de equilibrio del mercado como el punto de intersección entre ambas rectas. Gráficamente, está interpretado de la siguiente forma:

Punto de Equilibrio | totumat.com

Calculando el punto de equilibrio, es posible fijar el precio de un artículo, de forma que los consumidores demandarán la misma cantidad de unidades que los productores están ofertando. Dicho precio será conocido como el precio de equilibrio y las cantidades serán conocidas como cantidades de equilibrio.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo calcular el punto de equilibrio en una economía simple una vez que ya contamos con las ecuaciones de demanda y oferta.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las ecuaciones p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} y p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} que describen la demanda y la oferta de zanahorias en una pequeña tienda de verduras de la ciudad. Calcule el punto de equilibrio de este mercado.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}
p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable q

-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}

\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{10}{3} - \frac{215}{9}

\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{185}{9}

\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{185}{9} \ }{-\frac{20}{9}}

\Rightarrow \ q = \frac{37}{4}

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es q_e = \frac{37}{4} \approx 9,25 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor q_e = \frac{37}{4} en la ecuación de oferta:

p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{37}{4} \right) + \frac{10}{3} = \frac{75}{4} \approx 18,75

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es P_0 = \left( \frac{37}{4}, \frac{75}{4} \right) = (9,25 \ ; \ 18,75) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Ejemplo 2

Considerando las ecuaciones p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} y p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 que describen la demanda y la oferta zapatos para dama en una zapatería. Calcule el punto de equilibrio de este mercado.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}

p = \frac{7}{8} \cdot q - 5

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable q

-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q - 5

\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = -5 - \frac{7795}{44}

\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{8015}{44}

\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{8015}{44} \ }{-\frac{147}{88}}

\Rightarrow \ q = \frac{2290}{21}

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es q_e=\frac{2290}{21} \approx 109.04 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor q_e=\frac{2290}{21} en la ecuación de oferta:

p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{2290}{21} \right) - 5 = \frac{1085}{12} \approx 90,41

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es P_0 = \left( \frac{2290}{21} , \frac{1085}{12} \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Impuestos Especiales

Como parte de sus políticas económicas, los gobiernos tienden a aplicar impuestos adicionales sobre ciertos artículos con el fin de generar más ingresos, por otra parte, también se dan subsidios a los productores con el fin de que disminuir los precios de ciertos artículos y así los consumidores puedan acceder a dichos artículos con mayor facilidad.

Al estudiar las ecuaciones de demanda y oferta, una vez fijado el precio de un artículo, este precio cuenta con dos interpretaciones dependiendo de cuál de los dos entes involucrados se están estudiando, concretamente, si consideramos (p,q) el punto equilibrio del mercado, entonces

  • Para los consumidores, p denota el precio que pagarán a cambio de q unidades del artículo. Es por esto que en ocasiones se llama precio del demandante y se denota con p_d o por su nombre en inglés consumer price y se denota con p_c.
  • Para los productores, p denota el precio que recibirán a cambio de q unidades del artículo. Es por esto que en ocasiones se llama precio del oferente y se denota con p_o o por su nombre en inglés supplier price y se denota con p_s.

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado

Supongamos que el gobierno impone un impuesto de t Perolitos (Ps.) sobre un determinado artículo. Entonces, los productores de este artículo estarán recibiendo t Ps. menos por cada unidad de dicho artículo, esto en comparación con el precio que los consumidores pagan, es decir, p_o = p_d - t.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Entonces, si originalmente p_o = m \cdot q + b es la ecuación de oferta del artículo, entonces, la ecuación de oferta una vez que se ha fijado el impuesto de t Ps. quedará expresada de la forma p_d - t = m \cdot q + b y despejando p_d, obtenemos que

p_d = m \cdot q + b + t

Gráficamente, se está trasladando la curva de oferta original en t unidades hacia arriba en el Eje P, generando así, un nuevo punto de equilibrio de la siguiente forma

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, como la imposición de un impuesto afecta el punto de equilibrio del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las ecuaciones p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} y p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} que describen la demanda y la oferta de zanahorias en una pequeña tienda de verduras de la ciudad. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 2 Ps. por unidad.

Tomando en cuenta que el precio que se ha fijado un impuesto de 2 Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

p - 2 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}

\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} + 2

\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{16}{3}

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}

p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{16}{3}

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable q

-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{16}{3}

\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{16}{3} - \frac{215}{9}

\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{167}{9}

\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{167}{9} \ }{-\frac{20}{9}}

\Rightarrow \ q = \frac{167}{20}

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es q_e = \frac{167}{20} \approx 8,35 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor q_e = \frac{167}{20} en la ecuación de oferta:

p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{167}{20} \right) + \frac{16}{3} = \frac{77}{4} \approx 19,25

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es P_0 = \left( \frac{167}{20}, \frac{77}{4} \right) = ( 8,35 \ ; \ 19,25) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano para comparar ambas ecuaciones de oferta.

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado | totumat.com

La curva de oferta una vez que se impone el impuesto es una traslación de la curva de oferta original en 2 unidades hacia arriba en el Eje P. Este aumento en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original (9,25 \ ; \ 18,75) con el nuevo punto de equilibrio (8,35 \ ; \ 19,25), notamos que la demanda baja de 9,25 unidades a 8,35 unidades.

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Ejemplo 2

Considerando las ecuaciones p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} y p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 que describen la demanda y la oferta de zapatos para dama en una zapatería. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.

Tomando en cuenta que el precio que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

p - 8 = \frac{7}{8} \cdot q - 5

\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 + 8

\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q + 3

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}

p = \frac{7}{8} \cdot q + 3

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable q

-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q + 3

\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = 3 - \frac{7795}{44}

\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{7663}{44}

\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{7663}{44} \ }{-\frac{147}{88}}

\Rightarrow \ q = \frac{15326}{147}

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es q_e=\frac{15326}{147} \approx 104,25 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor q_e=\frac{15326}{147} en la ecuación de oferta:

p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{15326}{147} \right) + 3 = \frac{7915}{84} \approx 94,22

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es P_0 = \left( \frac{15326}{147} , \frac{7915}{84} \right) = (104.25 \ ;\ 94,22) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado | totumat.com

La curva de oferta una vez que se impone el impuesto es una traslación de la curva de oferta original en 8 unidades hacia arriba en el Eje P. Este aumento en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original (109,04 \ ; \ 90,41 ) con el nuevo punto de equilibrio (104,25 \ ;\ 94,22), notamos que la demanda baja de 109,04 unidades a 104,25 unidades.


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Efecto del subsidio en el equilibrio del mercado

Supongamos que el gobierno otorga un subsidio de s Perolitos (Ps.) a los productores de determinado artículo. Entonces, los productores de este artículo estarán recibiendo s Ps. más por cada unidad de dicho artículo, esto en comparación con el precio que los consumidores pagan, es decir, p_o = p_d + s.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Entonces, si originalmente p_o = m \cdot q + b es la ecuación de oferta del artículo, entonces, la ecuación de oferta una vez que se ha otorgado el subsidio de s Ps. quedará expresada de la forma p_d + s = m \cdot q + b y despejando p_d, obtenemos que

p_d = m \cdot q + b - s

Gráficamente, se está trasladando la curva de oferta original en s unidades hacia abajo en el Eje P, generando así, un nuevo punto de equilibrio de la siguiente forma

Efecto del subsidio en el equilibrio del mercado | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo otorgar un subsidio afecta el punto de equilibrio del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las ecuaciones p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} y p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} que describen la demanda y la oferta de zanahorias en una pequeña tienda de verduras de la ciudad. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.

Tomando en cuenta que el precio que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

p + 2 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}

\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} - 2

\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{4}{3}

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}

p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{4}{3}

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable q

-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{4}{3}

\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{4}{3} - \frac{215}{9}

\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{203}{9}

\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{203}{9} \ }{-\frac{20}{9}}

\Rightarrow \ q = \frac{203}{20}

\Rightarrow \ q \approx 10,15

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es q_e = \frac{203}{20} \approx 10,15 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor q_e = \frac{203}{20} en la ecuación de oferta:

p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{203}{20} \right) + \frac{4}{3} = \frac{73}{4} = 18,25

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es P_0 = \left( \frac{203}{20} , \frac{73}{4} \right) = (10,15 \ ;\ 18,25) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano para comparar ambas ecuaciones de oferta.

Efecto del subsidio en el equilibrio del mercado | totumat.com

La curva de oferta una vez que se otorga el subsidio es una traslación de la curva de oferta original en 2 unidades hacia abajo en el Eje P. Esta disminución en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original (9,25 \ ; \ 18,75) con el nuevo punto de equilibrio (10,15 \ ;\ 18,25), notamos que la demanda sube de 9,25 unidades a 10,15 unidades.

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Ejemplo 2

Considerando las ecuaciones p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} y p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 que describen la demanda y la oferta de zapatos para dama en una zapatería. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 8 Ps. por unidad.

Tomando en cuenta que el precio que se ha otorgado un subsidio de 8 Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

p + 8 = \frac{7}{8} \cdot q - 5

\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 - 8

\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 13

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}

p = \frac{7}{8} \cdot q - 13

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable q

-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q - 13

\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = -13 - \frac{7795}{44}

\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{8367}{44}

\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{8367}{44} \ }{-\frac{147}{88}}

\Rightarrow \ q = \frac{5578}{49}

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es q_e = \frac{5578}{49} \approx 113,83 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor q_e = \frac{5578}{49} en la ecuación de oferta:

p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{5578}{49} \right) - 13 = \frac{2425}{28} \approx 86,60

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es P_0 = \left( \frac{5578}{49} , \frac{2425}{28} \right) = (113,83 \ ;\ 86,60) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

Efecto del subsidio en el equilibrio del mercado | totumat.com

La curva de oferta una vez que se otorga el subsidio es una traslación de la curva de oferta original en 8 unidades hacia abajo en el Eje P. Esta disminución en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original (109,04 \ ; \ 90,41 ) con el nuevo punto de equilibrio (113,83 \ ;\ 86,60), notamos que la demanda sube de 109,04 unidades a 113,83 unidades.