Modelo de crecimiento y decrecimiento poblacional

Usualmente las ecuaciones diferenciales se emplean para modelar el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo. De forma general, si consideramos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, estas estarán expresadas de la forma

x' + u(t) \cdot x = w(t)

Donde u y w son funciones que dependen de la variable t.

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Empecemos por considerar uno de los modelos más básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en un tiempo t: el caso homogéneo con coeficiente constante, es decir, tal que w(t)=0 y u(t)=k. En este caso, las ecuaciones estarán expresadas de la forma

x' - k \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x' = k \cdot x

Con valor inicial x(0)=x_{0}. En este caso la constante k será conocida como constante de proporcionalidad y este tipo de ecuaciones sirve para describir diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Las aplicaciones de este modelo pueden variar entre crecimiento de una población de bacterias, media-vida (variable que se usa para describir la estabilidad de sustancias radiactivas), pruebas de carbono 14 (para medir qué tan antiguo es un fósil) o incluso para determinar en cuánto tiempo se enfría una torta, sin embargo, durante este curso consideraremos de forma particular la forma en que crece la población de una determinada localidad.

Formalmente, si definimos la variable P(t) para denotar el tamaño de la población en un tiempo t, la forma en que varía el tamaño de la población respecto al tiempo se puede describir calculando la derivada de la variable P respecto al tiempo t, es decir, P'(t) = \frac{dP}{dt}(t).

Para poder emplear este tipo de modelos, debemos suponer que la forma en que varía la población en un instante de tiempo t es proporcional al tamaño de la población en dicho tiempo t, de esta forma, obtenemos la siguiente igualdad

P'(t) = k \cdot P(t)

Notando que esta igualdad representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea y puede usarse para predecir el tamaño de la población en el futuro, es decir, para algún t>t_{0}. Y sabiendo el tamaño de la población en un punto t_0 entonces podemos definir una ecuación diferencial con problema de valor inicial de la siguiente forma:

P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_{0}) = P_0

Representando la ecuación diferencial de esta forma, la constante de proporcionalidad se puede determinar a partir de la solución con el valor inicial dado.

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Ejemplo

Mediante un censo poblacional en el año 1970, el tamaño de la población de una pequeña ciudad fue de aproximadamente 74 000 habitantes. En el censo poblacional del año 2000 se estimó que el tamaño de la población fue de 200 000 habitantes. Considerando que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, ¿cuál será el tamaño de la población en el año 2030?

Antes de establecer el modelo que define el crecimiento de esta población, es necesario definir las variables involucradas.

El primer censo se efectuó en el año 1970, entonces consideramos a este como el valor inicial t_{0} = 1970. Sin embargo, para agilizar los cálculos, podemos considerar t_{0} = 0 y así, P_{0} = 70000.

Partiendo del hecho que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, planteamos la siguiente ecuación diferencial

P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_0) = P_{0} = 70000

Al ser esta una ecuación de variables separables, procedemos a calcular su solución con el respectivo valor inicial.

P' = k P

\; \Rightarrow \; \frac{dP}{dt} = k P

\; \Rightarrow \; \frac{dP}{P} = k dt

\; \Rightarrow \; \int \frac{dP}{P} = \int k dt

\; \Rightarrow \; \ln(P) = kt + C

\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt + C}

\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt} \textit{\large e}^{C}

\; \Rightarrow \; P = C \textit{\Large e}^{kt}

Tomando en cuenta que hemos considerado t_{0} = 0, entonces

P_{0} = C \textit{\Large e}^{k \cdot (0)} \; \Rightarrow \; 70000 = C \cdot 1 \; \Rightarrow \; C = 70000

Entonces, la solución de la ecuación diferencial planteada con el problema de valor inicial está dada por

P = 70000 \textit{\Large e}^{kt}

Sin embargo, aún no hemos determinado el valor de la constante de proporcionalidad k. Para esto, debemos recurrir a la otra información aportada en el enunciado del problema.

El segundo censo se efectuó en el año 2000, entonces al haberse efectuado 30 años después consideramos a este como el valor en el trigésimo periodo t_{30} = 2000 y así, P(30) = 200000. De esta forma, podemos plantear la siguiente igualdad

P(30) = 70000 \textit{\Large e}^{kt}

Y a partir de esta igualdad, podemos despejar k.

\; \Rightarrow \; 200000 = 70000 \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; \frac{200000}{70000} = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; 2.8571 = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; \ln \left( 2.8571 \right) = k \cdot 30

\; \Rightarrow \; \frac{\ln \left( 2.8571 \right)}{30} = k

\; \Rightarrow \; k \approx 0,03499

De esta forma, la fórmula general para calcular el tamaño de la población está definida de la siguiente forma:

P(t) = 70000 \textit{\Large e}^{0,03499 \cdot t}

Para calcular el tamaño de la población en el año 2030, debemos tomar en cuenta que si el año inicial fue 1970, entonces el año 2030 corresponde al sexagésimo periodo, es decir, t_{60} = 2030. Entonces, evaluamos la función en 60.

P(60) = 70000 \textit{\Large e}^{(0,03499) \cdot (60)} \; \Rightarrow \; P(60) = 571289


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