Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

Veamos ahora el desarrollo de un método que nos permitirá reducir el orden de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea una vez que hemos encontrado una de sus soluciones.

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno. Entonces, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden, diremos que esta está estandarizada si se encuentra expresada de la siguiente forma:

y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo I, pues de esta forma podemos garantizar que existe un conjunto fundamental de soluciones de esta ecuación en el intervalo I. Supongamos que y_1(x) es en efecto una solución conocida y que y_1(x) \neq 0 para todo x en el intervalo I.

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Partiremos del hecho de que al considerar una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden, existirá un conjunto fundamental de soluciones que consta de exactamente dos soluciones para esta ecuación.

Formalmente, si consideramos y_1 y y_2, dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial ordinaria homogénea de orden dos en un intervalo I, el principio de superposición para ecuaciones homogéneas establece que cualquier otra solución será combinación lineal de éstas, entonces la solución general estará definida en un intervalo I de la siguiente forma

y = c_1 y_1 + c_2 y_2

Nuestro propósito es encontrar una segunda solución y_2(x) tal que y_1(x) y y_2(x) son linealmente independientes, es decir, tal que y_2(x) \neq c_1 \cdot y_1(). Consideramos entonces, una función auxiliar u(x) tal que y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x).

La función y_2 debería satisfacer la ecuación y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0, entonces, debemos calcular la primera y la segunda derivada de y_2 para posteriormente sustituirla en la ecuación.

y_2 = u \cdot y

y_2' = u \cdot y'_1 + y_1 \cdot u'

y_2'' = u \cdot y''_1 + 2 \cdot y'_1 \cdot u' + y_1 \cdot u''

Entonces al sustituir las funciones y_2, y_2' y y_2'' en la ecuación estandarizada, obtenemos

(u y''_1 + 2y'_1 u' + y_1 u'') + P (uy'_1 + y_1u') + Q (uy_1) = 0

Expandimos las expresiones distribuyendo P y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a u, u' y u''

u y''_1 + 2y'_1 u' + y_1 u'' + P uy'_1 + P y_1u' + Q uy_1 = 0

\Rightarrow \; y_1 u'' + 2y'_1 u' + P y_1u' + u y''_1 + P uy'_1 + Q uy_1 = 0

\Rightarrow \; y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' + (y''_1 + Py'_1 + Qy_1)u = 0

Debemos nota que al ser y_1 una solución de la ecuación, entonces y''_1 + Py'_1 + Qy_1 = 0, por lo tanto, tenemos que

y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' + (0)u = 0

\Rightarrow \; y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' = 0

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Notemos que esta última ecuación involucra sólo la primera y segunda derivada de la variable u, entonces, si recurrimos a una nueva variable auxiliar w(x)=u'(x), podemos reducir el orden la ecuación diferencial como sigue

y_1 w' + (2y'_1 + P y_1 ) w = 0

Esta ecuación es precisamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con variables separables, entonces podemos calcular su solución de la siguiente manera

y_1 w' + (2y'_1 + P y_1 ) w = 0

\Rightarrow \; y_1 w' = - (2y'_1 + P y_1 ) w

\Rightarrow \; \frac{w'}{w} = \frac{- (2y'_1 + P y_1 )}{y_1}

\Rightarrow \; \int \frac{w'}{w} = \int \frac{- (2y'_1 + P y_1 )}{y_1} dx

\Rightarrow \; \int \frac{w'}{w} dx = - \int \left( \frac{2y'_1}{y_1} + \frac{P y_1 }{y_1} \right) dx

\Rightarrow \; \ln(w) = - 2 \ln(y_1) - \int P dx + C

\Rightarrow \; \ln(w) + 2 \ln(y_1) = - \int P dx + C

\Rightarrow \; \ln(w) + \ln(y_1^2) = - \int P dx + C

\Rightarrow \; \ln(w y_1^2) = - \int P dx + C

\Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(w y_1^2)} = \textit{\Large e}^{- \int P dx + C}

\Rightarrow \; w y_1^2 = \textit{\Large e}^{- \int P dx + C}

Y considerando que w es una variable auxiliar, tenemos que

w y_1^2 = \textit{\huge e}^{\tiny - \int P dx + C}

\Rightarrow \; u' y_1^2 = \textit{\huge e}^{\tiny - \int P dx + C}

\Rightarrow \; u' = \frac{C_1 \textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2}

\Rightarrow \; u = \int \frac{C_1 \textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2} dx + C_2

Para simplificar esta última expresión, podemos escoger de forma conveniente los valores c_1=1 y c_2=0, y así, esta última expresión se convierte en

u = \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2} dx

Finalmente, como y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x), entonces u(x) = \frac{y_2(x)}{y_1(x)}, de esta forma obtenemos

\frac{y_2(x)}{y_1(x)} = \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{\left( y_1(x) \right)^2} dx \Rightarrow y_2(x) = y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx

Esta última igualdad nos provee una fórmula para calcular una solución y_2 de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden conociendo una solución particular y_1 y en consecuencia, la solución general de la ecuación. Veamos con algunos ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución general de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden

x^2y'' - 3xy' + 4y = 0

en el intervalo (0,+\infty), sabiendo que y_1=x^2 es una solución particular de ésta.

Empezamos estandarizando la ecuación, en este caso dividimos cada sumando de la ecuación por x^2 para obtener

y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{4}{x}y = 0

Así, identificando P(x)=\frac{3}{x} podemos calcular la otra solución de esta ecuación sustituyendo en la fórmula, obtenemos que

y_2(x) = x^2 \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{3}{x} dx}}{(x^2)^2} dx = x^2 \int \frac{x^3}{(x^2)^2} dx = x^2 \ln(x)

De esta forma, contamos con las dos soluciones particulares y_1=x^2 y y_2(x) = x^2 \ln(x) y en consecuencia, podemos expresar la solución general de la ecuación, pues cualquier otra solución se expresa como combinación lineal de estas dos de la siguiente forma:

y(x) = c_1 x^2 + c_2 x^2 \ln(x)


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