Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Dinámica del precio de un producto

07.09.202207.09.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando las siguientes funciones de demanda $Q_d$ y de oferta $Q_o$ , suponga que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo t es proporcional al exceso en la demanda, es decir,

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0$

Y a partir de esta suposición, defina una ecuación diferencial que le permita calcular la función que define el precio a lo largo del tiempo y posteriormente calcule el precio en los tiempos indicados para determinar si en efecto, la función de precio tiende al equilibrio.

$Q_d = 62 - 3.44 P \text{ y } Q_o = 3.6 P - 95$ . Calcule el precio cuando $t = 4 , 5 , 6 , 7$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 16$ . Suponga que $m = 0.43$ .
$Q_d = 146 - 4.69 P \text{ y } Q_o = 4.87 P - 70$ . Calcule el precio cuando $t = 5 , 6 , 7 , 8$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 38$ . Suponga que $m = 0.55$ .
$Q_d = 127 - 3.09 P \text{ y } Q_o = 3.73 P - 93$ . Calcule el precio cuando $t = 3 , 4 , 5 , 6$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 17$ . Suponga que $m = 0.33$ .
$Q_d = 129 - 0.35 P \text{ y } Q_o = 2.76 P - 132$ . Calcule el precio cuando $t = 5 , 6 , 7 , 8$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 2$ . Suponga que $m = 0.54$ .

$Q_d = 87 - 3.5 P \text{ y } Q_o = 2.05 P - 80$ . Calcule el precio cuando $t = 5 , 6 , 7 , 8$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 4$ . Suponga que $m = 0.52$ .
$Q_d = 106 - 0.58 P \text{ y } Q_o = 3.19 P - 50$ . Calcule el precio cuando $t = 4 , 5 , 6 , 7$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 28$ . Suponga que $m = 0.37$ .
$Q_d = 64 - 4.45 P \text{ y } Q_o = 0.06 P - 124$ . Calcule el precio cuando $t = 4 , 5 , 6 , 7$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 30$ . Suponga que $m = 0.86$ .
$Q_d = 139 - 2.57 P \text{ y } Q_o = 3.89 P - 81$ . Calcule el precio cuando $t = 5 , 6 , 7 , 8$ ; considerando un precio inicial de $P_0 = 29$ . Suponga que $m = 0.89$ .

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Lineales en Diferencias de Primer Orden con coeficientes constantes

20.07.202224.07.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Calcule la solución de la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden, estudie el límite de la sucesión para determinar su estabilidad, y además, indique el tipo de comportamiento gráfico que esta describe.

$9 y_{t+1} = 10 y_{t} + 3$ con condición inicial $y_{0} = -9$
$- 9 y_{t+1} = 6 - 2 y_{t}$ con condición inicial $y_{0} = 0$
$- y_{t+1} = 10 y_{t} + 10$ con condición inicial $y_{0} = -8$
$- 2 y_{t+1} = - 10 y_{t} - 7$ con condición inicial $y_{0} = 5$

$6 y_{t+1} = 7 - 8 y_{t}$ con condición inicial $y_{0} = -3$
$- y_{t+1} = 9 - 4 y_{t}$ con condición inicial $y_{0} = -8$
$y_{t+1} = 4 y_{t} + 9$ con condición inicial $y_{0} = -10$
$7 y_{t+1} = 2 - 6 y_{t}$ con condición inicial $y_{0} = 6$

$8 y_{t+1} = - 9 y_{t} - 3$ con condición inicial $y_{0} = 2$
$9 y_{t+1} = 8 y_{t} + 5$ con condición inicial $y_{0} = -2$
$- 9 y_{t+1} = - 8 y_{t} - 8$ con condición inicial $y_{0} = -8$
$10 y_{t+1} = 6 - 6 y_{t}$ con condición inicial $y_{0} = -7$

$6 y_{t+1} = 5 y_{t} + 10$ con condición inicial $y_{0} = -4$
$- 4 y_{t+1} = 8 y_{t} + 1$ con condición inicial $y_{0} = 4$
$- y_{t+1} = 10 y_{t} + 3$ con condición inicial $y_{0} = 4$
$9 y_{t+1} = 7 y_{t} - 6$ con condición inicial $y_{0} = 0$

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Diferenciales

08.01.202210.01.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

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Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función $y=f(x)$ diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor $x$ en el dominio de ella, y $x+h$ un valor incrementado de $x$ , definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

$\Delta_x = (x+h) - h = h$

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de $f(x)$ y $f(x+h)$ ; definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

$\Delta_y = f(x+h) - f(x)$

Es decir, la diferencia en $y$ mide cuanto varía la función cuando la variable $x$ varía con medida igual a la diferencia en $x$ .

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula « $\Delta$ » pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ :

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia $\Delta_x$ , el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función $f(x)$ :

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$

Debemos recordar que la derivada de la función $f(x)$ está definida de la siguiente forma:

$f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}$

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Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función $y=f(x)$ en el punto $\left( x, f(x) \right)$ , llamémosla $t(x)$ . Si consideramos un valor $x$ , y $x+h$ un valor incrementado de $x$ , definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

$dx = (x+h) - h = h$

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de $t(x)$ y $t(x+h)$ ; definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

$dy = t(x+h) - t(x)$

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ :

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $x$ , es la derivada de la función $f(x)$ :

$\frac{dy}{dx} = f'(x)$

De esta igualdad, podemos despejar $dy$ y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función $y=f(x)$ :

$dy = f'(x) \cdot dx$

Es decir, el diferencial de $y$ mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable $x$ presenta un incremento con medida igual al diferencial de $x$ .

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Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en $x$ y el diferencial de $x$ son exactamente el mismo elemento, es decir, $\Delta_x = dx$ ; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre $\Delta_y$ y $dy$ .

Hemos dicho que el cociente $\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$ se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real $\alpha$ que depende de $\Delta_x$ que nos permite establecer la siguiente relación:

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha$

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por $\Delta_x$ , despejamos $\Delta_y$ obteniendo que

$\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx$

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por $f'(x) \cdot dx$ , que es justamente $dy$ , nos damos cuenta que $\alpha \cdot dx$ que representa el excedente sobre $dy$ . Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ .

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que $\Delta_y = dy + \alpha \cdot dx$ , a medida que se hace pequeño el diferencial $dx$ también lo hará $\alpha$ , y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto $\alpha \cdot dx$ . Por lo tanto,

Si $dx \to 0$ , entonces $\Delta_y \to dy$

Concluimos entonces, que el diferencial de $y$ es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de $y$ , es decir,

$\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx$

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Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función $y=f(x)$ , el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

$dy$ ó $df$

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $y = x^2$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = 2x \ dx$

Ejemplo 2

Considerando la función $y = 6x^{10} + 13x + 20$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = (60x^9 + 13) \ dx$

Ejemplo 3

Considerando la función $y = \textit{\Large e}^{3x^5}$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx$

Ejemplo 4

Considerando la función $y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10)$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx$

Ecuaciones en Diferencias Finitas

16.06.202107.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Las Ecuaciones Diferenciales permiten estudiar distintos fenómenos a través del tiempo de forma continua usando diferenciales, sin embargo, no siempre los fenómenos que se estudian están medidos de forma continua y en cambio, están medidos de forma discreta.

Las Ecuaciones en Diferencias Finitas permiten estudiar distintos fenómenos a través del tiempo de forma discreta usando diferencias, es decir, considerando las relaciones entre dos eventos de un determinado fenómeno cuya información se ha recolectado a través del tiempo.

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Antes de abordar las Ecuaciones en Diferencias Finitas es importante identificar algunos elementos matemáticos que darán precisión a las definiciones que darán cuerpo a la teoría y uno de los elementos más básicos es entender a qué nos referimos cuando se menciona la palabra continua o la palabra discreta.

Mediciones continuas y mediciones discretas

En el ámbito de las Ecuaciones en Diferencias, las variables están medidas a través del tiempo. Usualmente, el tiempo se identifica con la variable $t$ y este puede ser considerado de dos formas.

Mediciones Continuas

Una variable es medida de forma continua si los intervalos de tiempo considerados son muy pequeños (relativo al fenómeno en cuestión), usualmente; segundos, microsegundos o milisegundos. Entonces, una variable $y$ está medida de forma continua si su dominio está definido como un intervalo en el conjunto de los números reales, formalmente, diremos que definida de la siguiente forma:

$y : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$

Consideremos en los siguientes ejemplos, fenómenos que han sido medidos de forma continua.