Ecuaciones de Bernoulli

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x) es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y, se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea \frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0 y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solución.

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Para cualquier número natural n, diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n

Los casos para los cuales n=0 y n=1 fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Para el caso n \geq 2, podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

u=y^{1-n}

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por 3x para obtener

\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar u=y^{1-n} que en este caso, n=2, por lo tango estará expresada como u=y^{-1} de donde podemos despejar y elevando a -1 y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a \frac{1}{1-n} ambos lados de la ecuación para obtener que

y=u^{-1}

Será necesario calcular el diferencial de y, así que usando la regla de la cadena concluimos que

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}

Entonces, sustituimos y y \frac{dy}{dx} en la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2

\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2

\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por -u^{-2} y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4

Identificamos la función P(x) que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4

\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C

\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar u en función de x, volvemos a sustituirla para obtener y

y^{-1} = -4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{-4x + Cx^2}


Un comentario en “Ecuaciones de Bernoulli

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