Ecuaciones de Bernoulli

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x) es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y, se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea \frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0 y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

A continuación presentaremos un tipo de ecuaciones ligeramente parecido. Para cualquier número natural n, diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n

Los casos para los cuales n=0 y n=1 fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Para el caso n \geq 2, podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

u=y^{1-n}

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por 3x para obtener

\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar u=y^{1-n} que en este caso, n=2, por lo tango estará expresada como u=y^{-1} de donde podemos despejar y elevando a -1 y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a \frac{1}{1-n} ambos lados de la ecuación para obtener que

y=u^{-1}

Será necesario calcular el diferencial de y, así que usando la regla de la cadena concluimos que

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}

Entonces, sustituimos y y \frac{dy}{dx} en la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2

\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2
\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por -u^{-2} y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4

Identificamos la función P(x) que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4

\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}


\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C

\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar u en función de x, volvemos a sustituirla para obtener y

y^{-1} = -4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{-4x + Cx^2}


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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