Ecuaciones de Bernoulli

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y$ , se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea $\frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0$ y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solución.

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Para cualquier número natural $n$ , diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

$\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n$

Los casos para los cuales $n=0$ y $n=1$ fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Para el caso $n \geq 2$ , podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

$u=y^{1-n}$

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2$

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por $3x$ para obtener

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar $u=y^{1-n}$ que en este caso, $n=2$ , por lo tango estará expresada como $u=y^{-1}$ de donde podemos despejar $y$ elevando a $-1$ y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a $\frac{1}{1-n}$ ambos lados de la ecuación para obtener que

$y=u^{-1}$

Será necesario calcular el diferencial de $y$ , así que usando la regla de la cadena concluimos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}$

Entonces, sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

$\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2$

$\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}$

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por $-u^{-2}$ y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea