Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (1 de 2)

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Las funciones $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x)$ que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

$a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$

Donde $a_0, a_1, \ldots, a_n$ son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de $g(x)$ . Diremos que una ecuación de este tipo es homogénea si $g(x)=0$ , y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden

Consideremos de forma particular, una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes de segundo orden, de la cual no conocemos ninguna solución particular, expresada de la siguiente forma:

$ay'' + by' + cy = 0$

Notemos que al ser todos sus coeficientes constantes, entonces todos sus coeficientes son funciones continuas en cualquier intervalo $I$ , por lo tanto podemos garantizar que existe una solución.

La ecuación que hemos considerado se puede reescribir como $y'' = \alpha y' + \beta y$ , esta expresión sugiere que la segunda derivada de la solución que estamos buscando es una combinación lineal de la primera y segunda derivada. Podemos notar que una función de la forma $y=\textit{\Large e}^{mx}$ cumple con esta propiedad pues

$y=\textit{\Large e}^{mx}$

$y'=m\textit{\Large e}^{mx}$

$y''=m^2\textit{\Large e}^{mx}$

Entonces, sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación que hemos planteado, tenemos que

$am^2\textit{\Large e}^{mx} + bm\textit{\Large e}^{mx} + c\textit{\Large e}^{mx} = 0$

Podemos factorizar esta expresión, pues si sacamos $\textit{\Large e}^{mx}$ como un factor obtenemos

$\textit{\Large e}^{mx} ( am^2 + bm + c) = 0$

Tomando en cuenta que la función exponencial siempre es distinta de cero, tenemos que $\textit{\Large e}^{mx} \neq 0$ , entonces para que esta igualdad se satisfaga, necesariamente el otro factor involucrado debe ser igual a cero, es decir,

$am^2 + bm + c = 0$

Esta última es una ecuación cuadrática y en este caso la llamamos ecuación auxiliar. Nuestro propósito será el calcular el valor $m$ que la satisface pues de esta forma hallamos la función $y$ , para esto usamos el método del discriminante del cual obtenemos dos valores.

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ y } m_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

A partir de aquí debemos tener tres consideraciones antes de que expresar nuestra solución:

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Discriminante positivo

Si $b^2-4ac > 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números reales distintos, obtenemos dos soluciones particulares $y_1 = \textit{\Large e}^{m_1 x}$ y $y_2 = \textit{\Large e}^{m_2 x}$ por lo que la solución general está definida como

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x}$

Discriminante igual a cero

Si $b^2-4ac = 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números reales exactamente iguales $\frac{-b}{2a}$ , por lo que la una solución particular está definida como $y_1=\textit{\Large e}^{m_1x}$ , sin embargo, ¿cómo determinamos la otra solución particular?

Considerando la ecuación $ay'' + by' + cy = 0$ , entonces estandarizamos la ecuación

$y'' + \frac{b}{a}y' + \frac{c}{a}y = 0$

Y recordemos que si conocemos una solución particular $y_1$ de una ecuación, la otra solución particular $y_2$ se puede calcular aplicando la siguiente fórmula

$y_2(x) \ = \ y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{m_1 x} \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{\frac{-b}{2a} x} \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Large e}^{\tiny - \frac{b}{a} x}}{ \textit{\Large e}^{- \frac{b}{a} x} } dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int dx$

$= \ x \textit{\Large e}^{m_1 x}$

Por lo tanto, la solución general está definida como

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1x} + c_2 x \textit{\Large e}^{m_1x}$

Discriminante negativo

Si $b^2-4ac < 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números complejos distintos de la forma $m_1=\alpha + i\beta$ y $m_2=\alpha-i\beta$ donde $\alpha,\beta<0$ e $i^2=-1$ . Formalmente no hay diferencia entre este y el primer caso, por lo que la solución será

$y = c_1 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x} + c_2 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x}$

Sin embargo, será necesario reescribir esta función en términos de números reales, por esta razón recurrimos a una serie de artilugios matemáticos que al final nos darán como resultado

$y = c_1 \textit{\Large e}^{\alpha x} cos(\beta x) + c_2 \textit{\Large e}^{\alpha x} sen(\beta x)$

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$2y'' - 5y' -3y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$2m^2 - 5m - 3 = 0$

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

$m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(-3)}}{2(2)}$

Por lo tanto, $m_1=\frac{1}{2}$ y $m_2=3$ son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{-\frac{1}{2}x} + c_2 \textit{\Large e}^{3x}$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y'' - 10y' + 25y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$m^2 - 10m - 25 = 0$

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

$m = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(1)(-25)}}{2(1)}$

Por lo tanto, $m_1=5$ y $m_2=5$ son las raíces de este polinomio y notando que ambas son la misma raíz, decimos que esta tiene multiplicidad igual a 2, por lo tanto la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{5x} + c_2 x \textit{\Large e}^{5x}$

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y'' + 4y' + 7y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$m^2 + 4m + 7 = 0$

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

$m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -2 \pm \sqrt{3}i$

Por lo tanto, $m_1= -2 + \sqrt{3}i$ y $m_2= -2 - \sqrt{3}i$ son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{3}x) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} sen(\sqrt{3}x)$

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de n-ésimo orden

Habiendo estudiado el caso para ecuaciones diferenciales de segundo orden, veremos ahora que el caso para ecuaciones de mayor orden no será muy diferente pues simplemente generalizamos las ideas. Formalmente, al considerar una ecuación de la forma

$a_{n} y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_{1} y' + a_0 y = 0$

Nuevamente consideraremos una función de la forma $y=\textit{\Large e}^{mx}$ y al sustituirla en la ecuación, hacemos un desarrollo análogo al caso de segundo orden para obtener la siguiente ecuación

$a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \ldots + a_1 m + a_0$

Que nuevamente llamaremos ecuación auxiliar y, si esta tiene $n$ soluciones distintas, entonces la solución general de la ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x} + \ldots + c_n \textit{\Large e}^{m_n x}$

Sin embargo, cuando no todas las $n$ soluciones son iguales, debemos «combinar» los otros dos casos, de forma que si $m_p$ tiene multiplicidad $k$ , es decir, es una solución que se repite $k$ veces, entonces la expresión

$c_{p_1} \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_2} x \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_3} x^{2} \textit{\Large e}^{m_p x} + \ldots + c_{p_k} x^{k-1} \textit{\Large e}^{m_p x}$

Se encuentra como una combinación lineal que forma parte de la solución.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y''' + 3y'' - 4y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$m^3 + 3m^2 - 4 = 0$

Y aplicando el Método de Ruffini podemos hallar las raíces de este polinomio,

De esta forma, tenemos que $m_1=1$ , $m_2=-2$ y $m_3=-2$ . Notamos que -2 es una raíz multiplicidad dos, pues se repite dos veces. Así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_{1} \textit{\Large e}^{x} + c_{2} \textit{\Large e}^{-2x} + c_{3} x \textit{\Large e}^{-2x}$

Ejemplo 5

Supongamos ahora que al plantear una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes, su ecuación auxiliar se factoriza de la siguiente forma

$(m-3)^2(m+7)^3(m-5)(m-(4+i9))(m-(4-i9))$

Entonces, tomando en cuenta la multiplicidad de algunas raíces y que otras son complejas, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y =$

$c_1 \textit{\Large e}^{3x} + c_2 x \textit{\Large e}^{3x}$

$+ c_3 \textit{\Large e}^{-7x} + c_4 x \textit{\Large e}^{-7x} + c_5 x^2 \textit{\Large e}^{-7x}$

$+ c_6 \textit{\Large e}^{5x}$

$+ c_7 \textit{\Large e}^{4x} cos(9x) + c_8 \textit{\Large e}^{4x} sen(9x)$

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