Funciones Cuadráticas

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes a, b y c.

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma \cup; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma \cap.

Considerando la función f(x) = ax^2 + bx + c, diremos que a es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

  • Si a > 0 entonces la función cuadrática es convexa.
  • Si a < 0 entonces la función cuadrática es cóncava.
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Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) > f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) < f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

  • Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
  • Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática f(x)=x^2 se encuentra en el punto (0,0).

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión (px + q)^2 + r traslada a la función x^2 en -\frac{q}{p} unidades en el Eje X y en r unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto \left( -\frac{q}{p} , r \right).

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por V_x, entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

a = p^2

b = 2pq

V_x = -\frac{q}{p}

A partir de la segunda ecuación podemos despejar q para obtener que q=\frac{b}{2p} y sustituyendo este valor de q en la tercera ecuación, tenemos que

V_x \ = \ -\frac{q}{p}

\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}

\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}

Entonces, considerando esta última igualdad y que a = p^2, concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función f(x) = ax^2 + bx + c en V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}.

f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c

\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c

\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

x = V_x

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto x=0, es decir, calcular la imagen f(0) = a(0)^2 + b(0) + c.

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de x para los cuales f(x) = 0, es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0. Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces existen dos puntos de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces existe sólo un punto de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (1 de 2)

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Las funciones a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x) que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)

Donde a_0, a_1, \ldots, a_n son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de g(x). Diremos que una ecuación de este tipo es homogénea si g(x)=0, y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden

Consideremos de forma particular, una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes de segundo orden, de la cual no conocemos ninguna solución particular, expresada de la siguiente forma:

ay'' + by' + cy = 0

Notemos que al ser todos sus coeficientes constantes, entonces todos sus coeficientes son funciones continuas en cualquier intervalo I, por lo tanto podemos garantizar que existe una solución.

La ecuación que hemos considerado se puede reescribir como y'' = \alpha y' + \beta y, esta expresión sugiere que la segunda derivada de la solución que estamos buscando es una combinación lineal de la primera y segunda derivada. Podemos notar que una función de la forma y=\textit{\Large e}^{mx} cumple con esta propiedad pues

y=\textit{\Large e}^{mx}

y'=m\textit{\Large e}^{mx}

y''=m^2\textit{\Large e}^{mx}

Entonces, sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación que hemos planteado, tenemos que

am^2\textit{\Large e}^{mx} + bm\textit{\Large e}^{mx} + c\textit{\Large e}^{mx} = 0

Podemos factorizar esta expresión, pues si sacamos \textit{\Large e}^{mx} como un factor obtenemos

\textit{\Large e}^{mx} ( am^2 + bm + c) = 0

Tomando en cuenta que la función exponencial siempre es distinta de cero, tenemos que \textit{\Large e}^{mx} \neq 0, entonces para que esta igualdad se satisfaga, necesariamente el otro factor involucrado debe ser igual a cero, es decir,

am^2 + bm + c = 0

Esta última es una ecuación cuadrática y en este caso la llamamos ecuación auxiliar. Nuestro propósito será el calcular el valor m que la satisface pues de esta forma hallamos la función y, para esto usamos el método del discriminante del cual obtenemos dos valores.

m_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ y } m_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

A partir de aquí debemos tener tres consideraciones antes de que expresar nuestra solución:

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Discriminante positivo

Si b^2-4ac > 0, entonces m_1 y m_2 son dos números reales distintos, obtenemos dos soluciones particulares y_1 = \textit{\Large e}^{m_1 x} y y_2 = \textit{\Large e}^{m_2 x} por lo que la solución general está definida como

y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x}

Discriminante igual a cero

Si b^2-4ac = 0, entonces m_1 y m_2 son dos números reales exactamente iguales \frac{-b}{2a}, por lo que la una solución particular está definida como y_1=\textit{\Large e}^{m_1x}, sin embargo, ¿cómo determinamos la otra solución particular?

Considerando la ecuación ay'' + by' + cy = 0, entonces estandarizamos la ecuación

y'' + \frac{b}{a}y' + \frac{c}{a}y = 0

Y recordemos que si conocemos una solución particular y_1 de una ecuación, la otra solución particular y_2 se puede calcular aplicando la siguiente fórmula

y_2(x) \ = \ y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{m_1 x} \right)^2} dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{\frac{-b}{2a} x} \right)^2} dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Large e}^{\tiny - \frac{b}{a} x}}{ \textit{\Large e}^{- \frac{b}{a} x} } dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int dx

= \ x \textit{\Large e}^{m_1 x}

Por lo tanto, la solución general está definida como

y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1x} + c_2 x \textit{\Large e}^{m_1x}

Discriminante negativo

Si b^2-4ac < 0, entonces m_1 y m_2 son dos números complejos distintos de la forma m_1=\alpha + i\beta y m_2=\alpha-i\beta donde \alpha,\beta<0 e i^2=-1. Formalmente no hay diferencia entre este y el primer caso, por lo que la solución será

y = c_1 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x} + c_2 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x}

Sin embargo, será necesario reescribir esta función en términos de números reales, por esta razón recurrimos a una serie de artilugios matemáticos que al final nos darán como resultado

y = c_1 \textit{\Large e}^{\alpha x} cos(\beta x) + c_2 \textit{\Large e}^{\alpha x} sen(\beta x)

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

2y'' - 5y' -3y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

2m^2 - 5m - 3 = 0

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(-3)}}{2(2)}

Por lo tanto, m_1=\frac{1}{2} y m_2=3 son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{-\frac{1}{2}x} + c_2 \textit{\Large e}^{3x}

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y'' - 10y' + 25y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

m^2 - 10m - 25 = 0

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

m = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(1)(-25)}}{2(1)}

Por lo tanto, m_1=5 y m_2=5 son las raíces de este polinomio y notando que ambas son la misma raíz, decimos que esta tiene multiplicidad igual a 2, por lo tanto la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{5x} + c_2 x \textit{\Large e}^{5x}

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y'' + 4y' + 7y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

m^2 + 4m + 7 = 0

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -2 \pm \sqrt{3}i

Por lo tanto, m_1= -2 + \sqrt{3}i y m_2= -2 - \sqrt{3}i son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{3}x) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} sen(\sqrt{3}x)


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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de n-ésimo orden

Habiendo estudiado el caso para ecuaciones diferenciales de segundo orden, veremos ahora que el caso para ecuaciones de mayor orden no será muy diferente pues simplemente generalizamos las ideas. Formalmente, al considerar una ecuación de la forma

a_{n} y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_{1} y' + a_0 y = 0

Nuevamente consideraremos una función de la forma y=\textit{\Large e}^{mx} y al sustituirla en la ecuación, hacemos un desarrollo análogo al caso de segundo orden para obtener la siguiente ecuación

a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \ldots + a_1 m + a_0

Que nuevamente llamaremos ecuación auxiliar y, si esta tiene n soluciones distintas, entonces la solución general de la ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x} + \ldots + c_n \textit{\Large e}^{m_n x}

Sin embargo, cuando no todas las n soluciones son iguales, debemos «combinar» los otros dos casos, de forma que si m_p tiene multiplicidad k, es decir, es una solución que se repite k veces, entonces la expresión

c_{p_1} \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_2} x \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_3} x^{2} \textit{\Large e}^{m_p x} + \ldots + c_{p_k} x^{k-1} \textit{\Large e}^{m_p x}

Se encuentra como una combinación lineal que forma parte de la solución.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y''' + 3y'' - 4y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

m^3 + 3m^2 - 4 = 0

Y aplicando el Método de Ruffini podemos hallar las raíces de este polinomio,

De esta forma, tenemos que m_1=1, m_2=-2 y m_3=-2. Notamos que -2 es una raíz multiplicidad dos, pues se repite dos veces. Así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_{1} \textit{\Large e}^{x} + c_{2} \textit{\Large e}^{-2x} + c_{3} x \textit{\Large e}^{-2x}

Ejemplo 5

Supongamos ahora que al plantear una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes, su ecuación auxiliar se factoriza de la siguiente forma

(m-3)^2(m+7)^3(m-5)(m-(4+i9))(m-(4-i9))

Entonces, tomando en cuenta la multiplicidad de algunas raíces y que otras son complejas, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y =

c_1 \textit{\Large e}^{3x} + c_2 x \textit{\Large e}^{3x}

+ c_3 \textit{\Large e}^{-7x} + c_4 x \textit{\Large e}^{-7x} + c_5 x^2 \textit{\Large e}^{-7x}

+ c_6 \textit{\Large e}^{5x}

+ c_7 \textit{\Large e}^{4x} cos(9x) + c_8 \textit{\Large e}^{4x} sen(9x)


La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

¿La resolvente? ¿La chicharronera?
No, el Método del Discriminante.

Si a, b y c son números reales, definimos en términos generales una ecuación cuadrática como una ecuación de la forma

y diremos que a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Considerando la expresión ax^2+bx+c que define nuestra ecuación, definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c. Éste número nos determina la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

  • Si el discriminante es mayor que cero, es decir, b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces la ecuación tiene una solución.
  • Si el discriminante es menor que cero, es decir, b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces la ecuación no tiene solución.

A partir del discriminante podemos establecer un método para calcular con exactitud la solución de la ecuación ax^2+bx+c, para esto usamos la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita x:

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos como aplicar el método del discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula indicada.

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Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x^2+5x+6=0.

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo \pm indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

x = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, x=-2 ó x=-3 son las dos soluciones de la ecuación x^2+5x+6=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 1, es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x^2+2x-8=0.

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=2 y c=-8. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}

= \dfrac{-2 \pm 6}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-2 + 6}{2}

= \dfrac{4}{2}

= 2

x = \dfrac{-2 - 6}{2}

= \dfrac{-8}{2}

= -4

Así, x=2 ó x=-4 son las dos soluciones de la ecuación x^2+2x-8=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 36, es mayor que cero.

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 5x^2-15x-50=0.

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término x^2 tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, x=5 ó x=-2 son las dos soluciones de la ecuación 5x^2-15x-50=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 49, es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 3x^2+12x+12=0.

Tenemos que a=3, b=12 y c=12. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}

= \dfrac{-12 \pm 0}{6}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-12 + 0}{6}

= -2

x = \dfrac{-12 - 0}{6}

= -2

Así, x=-2 es la única solución de la ecuación 3x^2+12x+12=0. Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, es igual a cero.

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 7x^2-2x+6=0.

Tenemos que a=7, b=-2 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación 7x^2-2x+6=0 no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = -164, es menor que cero.


ulalá señor francés meme moe los simpsons | totumat.com
Cuando le dices «el método del discriminante»