La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

La ecuación cuadrática

Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales, definimos una ecuación cuadrática como una ecuación que se puede expresar de la forma:

$ax^2+bx+c=0$

Diremos que $a$ , $b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación, siendo $a$ el coeficiente principal y $c$ el término independiente.

El discriminante

Habiendo definido los coeficientes de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c$ , definimos el discriminante de dicha ecuación como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ . Éste número nos sirve como un indicador sobre la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

Si el discriminante es mayor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones.
Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces la ecuación tiene una solución.
Si el discriminante es menor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces la ecuación no tiene solución.

La fórmula cuadrática

A partir del discriminante podemos establecer un método que nos permite calcular con exactitud la solución de la ecuación $ax^2+bx+c$ que consiste en usar la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita $x$ :

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos en los siguientes ejemplos cómo aplicar el Método del Discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas, primero identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula cuadrática.

Nota: La fórmula cuadrática, es conocida en distintos países de forma coloquial. En algunos es conocida como La Resolvente y en otros, es conocida como La Chicharronera.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+5x+6=0$ .

Para empezar, debemos notar que el término $x^2$ no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que $x^2 = 1 \cdot x^2$ . Así, tenemos que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo $\pm$ indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

$x = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, $x=-2$ ó $x=-3$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+5x+6=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 1$ , es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+2x-8=0$ .

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm 6}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-2 + 6}{2}$

$= \dfrac{4}{2}$

$= 2$

$x = \dfrac{-2 - 6}{2}$

$= \dfrac{-8}{2}$

$= -4$

Así, $x=2$ ó $x=-4$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+2x-8=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 36$ , es mayor que cero.

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $5x^2-15x-50=0$ .

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término $x^2$ tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4 \cdot (5) \cdot (-50)}}{2 \cdot 5}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{225+1000}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{1225}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm 35}{10}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{15 + 35}{10}$

$= \dfrac{50}{10}$

$= 5$

$x = \dfrac{15 - 35}{10}$

$= \dfrac{-20}{10}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 3 – Una forma alternativa

Por otra parte, notemos que $5$ es un factor común en cada uno de los sumandos, entonces, si sacamos $5$ como un factor común, tenemos que $5(x^2-3x-10)=0$ , entonces, calculamos las raíces de la siguiente forma:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $3x^2+12x+12=0$ .

Tenemos que $a=3$ , $b=12$ y $c=12$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}$

$= \dfrac{-12 \pm 0}{6}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-12 + 0}{6}$

$= -2$

$x = \dfrac{-12 - 0}{6}$

$= -2$

Así, $x=-2$ es la única solución de la ecuación $3x^2+12x+12=0$ . Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , es igual a cero.

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $7x^2-2x+6=0$ .

Tenemos que $a=7$ , $b=-2$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}$

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación $7x^2-2x+6=0$ no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = -164$ , es menor que cero.

Algunos memes relacionados con la fórmula cuadrática

Cuando le dices «el método del discriminante» en vez de «la resolvente».

Moe de los simpsons diciendo ulala señor francés | totumat.com

10 comentarios en “La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática”

Inecuaciones Cuadráticas, caso «menor que» – totumat dice:

12.12.2022 a las 5:23 pm

[…] como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A […]

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Inecuaciones Cuadráticas, caso «mayor que» – totumat dice:

12.12.2022 a las 5:17 pm

[…] como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A […]

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