La Ecuación Cuadrática

¿La resolvente? ¿La chicharronera?
No, el Método del Discriminante.

Si a, b y c son números reales, definimos en términos generales una ecuación cuadrática como una ecuación de la forma

y diremos que a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Considerando la expresión ax^2+bx+c que define nuestra ecuación, definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c. Éste número nos determina la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces P(x) tiene dos raíces.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces P(x) tiene una raíz.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces P(x) no tiene raíces reales.

A partir del discriminante podemos establecer un método para calcular con exactitud la solución de la ecuación ax^2+bx+c, para esto usamos la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita x:

Método del Discriminante

Veamos como aplicar el método del discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula indicada.

Ejemplo 1: x^2+5x+6=0

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=5 y c=6. Entonces, tenemos que:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo \pm indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

x = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, x=-2 ó x=-3 son las dos soluciones de la ecuación x^2+5x+6=0.

Ejemplo 2: x^2+2x-8=0

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}

= \dfrac{-2 \pm 6}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-2 + 6}{2}

= \dfrac{4}{2}

= 2

x = \dfrac{-2 - 6}{2}

= \dfrac{-8}{2}

= -4

Así, x=2 ó x=-4 son las dos soluciones de la ecuación x^2+2x-8=0.

Ejemplo 3: 5x^2-15x-50=0

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, x=5 ó x=-2 son las dos soluciones de la ecuación 5x^2-15x-50=0.


El Método del Discriminante

Un comentario sobre “La Ecuación Cuadrática

  1. Saludos, Anthonny.
    Muchas gracias por este apunte tan útil.
    En Colombia le decimos «ley de Charles Machete».
    Solo hay un punto en el que creo que sería bueno precisar que cuando b^2 – 4ac < 0 no tiene raíces *en R, pero sí tiene raíces en C*.
    Gracias de nuevo.

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