Ecuaciones Cuadráticas

¿Una sola ecuación
puede tener más de una solución?

Cuando citamos el Teorema de Pitágoras nos encontramos con la situación c^2 = 2 y aunque pudimos salir del paso “inventando” la solución, la tarea de encontrar la solución para este tipo de situaciones no es trivial. Es por esto que debemos establecer un método que nos permita determinar la solución de este tipo de problemas.

Consideremos, la ecuación x^2 - 1 = 0. Notemos que esta no es una ecuación lineal, sin embargo, cuando deseamos determinar la solución de esta, podemos encontrarla fácilmente dándonos cuenta que 1^2 = 1 \cdot 1 =1, así que x=1 nos provee una solución para esta ecuación ya que 1^2 - 1 = 1-1 = 0. Sin embargo,

there is another

Hay otra solución para esta ocasión, pues podemos notar que (-1)^2=(-1) \cdot (-1) = 1, entonces x=-1 es una solución pues 1^2 - 1 = 1-1 = 0. Es posible establecer un método para calcular estas dos soluciones con un simple despeje partiendo de nuestra ecuación original: x^2 - 1 = 0

\Rightarrow x^2 - 1 +1 = 0+1

\Rightarrow x^2 +0 = 1

\Rightarrow x^2 = 1

Considerando ésta última ecuación, no hemos visto hasta ahora una forma para despejar la incógnita x pero el procedimiento es muy simple, aplicaremos la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener la siguiente ecuación.

\Rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{1}

\Rightarrow \sqrt{x^2} = 1

Y en este punto debemos tomar en cuenta un “tecnicismo matemático”, y es que la distancia entre un número x y el número cero puede definirse como \sqrt{x^2} . De esta forma, tenemos dos valores para los cuales la distancia entre x y cero es exactamente igual a uno, esto es x=1 ó x=-1.

La distancia entre menos uno y cero es igual a uno.
la distancia entre uno y cero es igual a uno.

En vista de esto, la última ecuación que hemos planteado se puede expresar de la siguiente manera:

\Rightarrow x = \pm 1

Es decir, la solución para la ecuación x^2 - 1 = 0 es x = 1 ó x=-1, tal como lo habíamos intuido.

Podemos generalizar este procedimiento para cualquier ecuación de la forma

ecuación cuadrática con coeficiente b igual a cero.

El procedimiento es como sigue:

ax^2 - c = 0

Partiendo de esta ecuación, podemos sumar c a ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si c está restando de un lado de la igualdad, pasará a sumar en el otro lado (por supuesto, recordando cual es el trasfondo de esta operación).

ax^2= c

Podemos dividir por a a ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si a está multiplicando de un lado de la igualdad, pasará a dividir en el otro lado (por supuesto, recordando cual es el trasfondo de esta operación).

x^2= \dfrac{c}{a}

\sqrt{x^2}= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

|x|= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

x = \pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}

Finalmente, la solución de esta ecuación será x = \sqrt{\frac{c}{a}} ó x = - \sqrt{\frac{c}{a}}. Aunque debemos tomar en cuenta que esta ecuación tendrá solución solamente si \frac{c}{a} es un número positivo, ya que si \frac{c}{a} es un número negativo, la ecuación no tendrá solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Veamos hora un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones:

4x^2 - 16 = 0

4x^2 = 16

x^2 = \dfrac{16}{4}

x^2 = 4

\sqrt{x^2} = \sqrt{4}

|x| = 2

x = \pm 2

Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por x=2 ó x=-2.


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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