Introducción a las Ecuaciones Cuadráticas

¿Una sola ecuación
puede tener más de una solución?

Cuando citamos el Teorema de Pitágoras nos encontramos con la situación c^2 = 2 y aunque pudimos salir del paso “inventando” la solución, la tarea de encontrar la solución para este tipo de situaciones no es trivial. Es por esto que debemos establecer un método que nos permita determinar la solución de este tipo de problemas.

Consideremos, la ecuación x^2 - 1 = 0. Notemos que esta no es una ecuación lineal, sin embargo, cuando deseamos determinar la solución de esta, podemos encontrarla fácilmente dándonos cuenta que 1^2 = 1 \cdot 1 =1, así que x=1 nos provee una solución para esta ecuación ya que 1^2 - 1 = 1-1 = 0. Sin embargo,

there is another yoda meme | totumat.com

Hay otra solución para esta ocasión, pues podemos notar que (-1)^2=(-1) \cdot (-1) = 1, entonces x=-1 es una solución pues 1^2 - 1 = 1-1 = 0. Es posible establecer un método para calcular estas dos soluciones con un simple despeje partiendo de nuestra ecuación original: x^2 - 1 = 0

\Rightarrow \ x^2 - 1 +1 = 0+1

\Rightarrow \ x^2 +0 = 1

\Rightarrow \ x^2 = 1

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Considerando ésta última ecuación, no hemos visto hasta ahora una forma para despejar la incógnita x pero el procedimiento es muy simple, aplicaremos la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener la siguiente ecuación.

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = \sqrt{1}

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = 1

Y en este punto debemos tomar en cuenta un “tecnicismo matemático”, y es que la distancia entre un número x y el número cero puede definirse como \sqrt{x^2} . De esta forma, tenemos dos valores para los cuales la distancia entre x y cero es exactamente igual a uno, esto es x=1 ó x=-1.

La distancia entre menos uno y cero es igual a uno. La distancia entre uno y cero es igual a uno. | totumat.com

En vista de esto, la última ecuación que hemos planteado se puede expresar de la siguiente manera:

x = \pm 1

Es decir, la solución para la ecuación x^2 - 1 = 0 es x = 1 ó x=-1, tal como lo habíamos intuido.

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Podemos generalizar este procedimiento para cualquier ecuación de la forma

ecuación cuadrática con coeficiente b igual a cero | totumat.com

Pues partiendo de esta ecuación, podemos sumar c a ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si c está restando de un lado de la igualdad, pasará a sumar en el otro lado (por supuesto, recordando cual es el trasfondo de esta operación).

ax^2= c

Podemos dividir por a a ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si a está multiplicando de un lado de la igualdad, pasará a dividir en el otro lado (por supuesto, recordando cual es el trasfondo de esta operación).

x^2= \dfrac{c}{a}

\Rightarrow \ \sqrt{x^2}= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

\Rightarrow \ |x|= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

\Rightarrow \ x = \pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}

Finalmente, la solución de esta ecuación será x = \sqrt{\frac{c}{a}} ó x = - \sqrt{\frac{c}{a}}. Aunque debemos tomar en cuenta que esta ecuación tendrá solución solamente si \frac{c}{a} es un número positivo, ya que si \frac{c}{a} es un número negativo, la ecuación no tendrá solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Veamos hora un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones:

4x^2 - 16 = 0

\Rightarrow \ 4x^2 = 16

\Rightarrow \ x^2 = \dfrac{16}{4}

\Rightarrow \ x^2 = 4

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = \sqrt{4}

\Rightarrow \ |x| = 2

\Rightarrow \ x = \pm 2

Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por x=2 ó x=-2.


Mire equis, yendo a la raíz del problema, le aconsejo que asuma su naturaleza y acepte vivir con sus dos facetas, la positiva y la negativa.

TROFEA 2011 | totumat.com

Ecuaciones Lineales

¿Cómo se despeja x?

Considerando tres números reales a, b y c; diremos que una ecuación lineal es cualquier ecuación que se puede expresar de la forma

ax + b = c

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones y veamos paso a paso cómo despejar x, es decir, cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando las distintas propiedades de los números reales dejando a la incógnita x sola en un solo lado de la igualdad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Despejar la incógnita x en la ecuación 5x+10 = 20.

5x+10 = 20

\Longrightarrow \ 5x+10-10 = 20-10

\Longrightarrow \ 5x+0 = 10

\Longrightarrow \ 5x = 10

\Longrightarrow \ \dfrac{5x}{5} = \dfrac{10}{5}

\Longrightarrow \ \dfrac{5}{5}  \cdot  x = 2

\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 2

Ejemplo 2

Despejar la incógnita x en la ecuación -3x+20 = 5.

-3x+20 = 5

\Longrightarrow \ -3x+20 -20 = 5 -20

\Longrightarrow \ -3x+0 = -15

\Longrightarrow \ -3x = -15

\Longrightarrow \ \dfrac{-3x}{-3} = \dfrac{-15}{-3}

\Longrightarrow \ \dfrac{-3}{-3} \cdot x = 5

\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 5

\Longrightarrow \ x = 5


En los dos ejemplos anteriores aplicamos las propiedades de la suma y el producto para hallar el valor de equis de forma intuitiva, sin embargo, podemos encontrar situaciones en las que debemos mezclar estas propiedades.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita x, es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a x de un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a x del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder hacer operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ejemplo 3

Despejar la incógnita x en la ecuación 10x+7 = 4x - 11.

10x+7 = 4x - 11

\Longrightarrow \ 10x+7-7 = 4x - 11-7

\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18

\Longrightarrow \ 10x -4x = 4x -18 -4x

\Longrightarrow \ (10-4)x = 4x -4x  -18

\Longrightarrow \ 6x= 0 - 18

\Longrightarrow \ 6x = - 18

\Longrightarrow \ \dfrac{6x}{6} = \dfrac{-18}{6}

\Longrightarrow \ \dfrac{6}{6} \cdot x = \dfrac{-18}{6}

\Longrightarrow \ 1 \cdot x = -3

\Longrightarrow \ x = -3


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A medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez. Mientras tanto, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que “lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar“, también podemos decir que “lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar“. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:

Ejemplo 3 – Otra forma

Despejar la incógnita x en la ecuación 10x+7 = 4x - 11.

10x+7 = 4x - 11

Esta es nuestra ecuación original.

\Rightarrow 10x = 4x - 11-7

El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.

\Rightarrow 10x = 4x - 18

Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.

\Rightarrow 10x -4x = - 18

El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.

\Rightarrow 6x = - 18

Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.

\Rightarrow x = -\dfrac{18}{6}

El seis que está multiplicando a equis pasa del lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.

\Rightarrow x = -3

Menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.