El Teorema Fundamental del Cálculo

Calcular áreas puede resultar tedioso si cada vez debemos calcular límites de Sumas de Riemann, sin embargo, esto no necesariamente debe ser así. A continuación veremos un resultado matemático cuya importancia radica en que enlaza el cálculo diferencial (derivadas y antiderivadas) con un concepto netamente geométrico como el cálculo de áreas. Citando a Michael Spivak en su libro de Cálculo Infinitesimal:

La derivada no despliega toda su fuerza hasta que se alía con la “integral”… El estudio de las integrales requiere una preparación larga, pero una vez hecho este trabajo preliminar, las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir nuevas funciones y la derivada volverá a aparecer, más poderosa que nunca (en el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal)…

El Teorema Fundamental del Cálculo usualmente se presenta en dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Si $f(x)$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una antiderivada de esta, entonces

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Si $f(x)$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una antiderivada de esta, entonces

Esta segunda parte es la que presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias. Veamos con algunos ejemplos como calcular áreas bajo curvas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x dx$

$= \ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}$

$= \ \frac{1}{2} - \frac{0}{2}$

$= \ \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x^2 dx$

$= \ \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}$

$= \ \frac{1}{3} - \frac{0}{3}$

$= \ \frac{1}{3}$

Ejemplo 3

Calcule el área bajo la curva $f(x)=\sqrt{x+2}$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_{-1}^{1} \sqrt{x+2} dx$

$= \ \int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{2}} dx$

$= \ \left. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} \right|_{-1}^{1}$

$= \ \frac{2}{3} (1+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-1+2)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} \sqrt{3^3} - \frac{2}{3}$

$= \ 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}$

Es importante señalar que aunque la integral definida es una herramienta usada principalmente para calcular áreas bajo curvas, el Teorema Fundamental del Cálculo permite determinar elementos de interés en distintos campos de la ciencia, ingeniería y economía; es por esto que debemos tomar en cuenta que al considerar aplicaciones prácticas, estas pueden no representar áreas en el plano cartesiano.

Un comentario en “El Teorema Fundamental del Cálculo”

[…] calcular áreas usando el Teorema Fundamental del Cálculo, no siempre encontraremos funciones elementales positivas, es por esto que debemos contar con […]

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