Área entre dos curvas

Propiedades de la Integral Definida

Al calcular áreas usando el Teorema Fundamental del Cálculo, no siempre encontraremos funciones elementales positivas, es por esto que debemos contar con herramientas para abordar áreas definidas por otro tipo de funciones. A continuación se presentan una serie de propiedades de la integral definida que permiten ampliar el espectro de áreas bajo curvas que podemos calcular.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a,b], k un escalar y c un elemento de [a,b], entonces tenemos que

Las primeras tres propiedades son análogas a las propiedades vistas en la integral indefinida y hacen referencia a la suma, resta y multiplicación por un escalar de funciones.

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La siguiente propiedad nos permite comparar el tamaño del área bajo la curva que definen dos funciones considerando la forma en que estas están relacionadas.

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Esta propiedad indica que al intercambiar los límites de integración, cambia el signo de la integral.

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Las siguientes propiedades indican que si la función es cero entonces su integral será igual a cero y también que la integral definida sobre un sólo punto es igual a cero, respectivamente

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Esta propiedad es muy interesante pues lo que indica que es que al calcular la integral de una función es posible partir el intervalo, de esta forma calcular la integral una parte de la función por un lado y otra parte por otro lado, finalmente se pueden juntar los resultados.

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Área entre dos curvas

El método que hemos usado para calcular áreas resulta motivado para calcular áreas bajo curvas definidas por funciones positivas, así que es inevitable preguntarse, ¿qué ocurre si la función es negativa? Supongamos que queremos calcular el área bajo la curva f(x)=x^3 en el intervalo [-1,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Si aplicamos directamente el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que

A

= \ \int_{-1}^{1} x^3 dx

= \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1}

= \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4}

= \ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}

= \ 0

Sin embargo, esto es intuitivamente imposible pues al menos gráficamente podemos identificar el área bajo la curva y no pareciera ser igual a cero. Considerando esto en cuenta, debemos abordar este problema de una forma diferente.

Para entender lo que está pasando debemos recordar que al definir la Sumas de Riemann, calculamos el área de rectángulos cuyas alturas venían dadas por las imágenes de la función, así que al calcular el área cuando la función es negativa, el resultado de la integral será negativo.

Por ahora diremos que basta multiplicar por menos uno (-1) el resultado negativo de la integral para obtener el valor del área, aunque veremos luego veremos cómo solventar esta situación formalmente.

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Entonces, para calcular el área bajo la curva f(x)=x^3 en el intervalo [-1,1] debemos partir el intervalo en dos partes, uno en el que las imágenes de la función son negativas y otro en el que las imágenes de la función son positivas, a simple vista podemos ver que esto pasa cuando x está en [-1,0] y cuando x está en [0,1], respectivamente. Entonces podemos identificar dos áreas A_1 y A_2

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Gracias a las propiedades del la Integral Definida podemos partir la integral que hemos planteado como \int_{-1}^{1} x^3 dx = \int_{-1}^{0} x^3 dx + \int_{0}^{1} x^3 dx

Si aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para cada una de estas integrales, tenemos que

A_1

= \ - \int_{-1}^{0} x^3 dx

= \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)

= \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)

= \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)

= \ \frac{1}{4}

A_2

= \ \int_{0}^{1} x^3 dx

= \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{-1}

= \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{0}^4}{4}

= \ \frac{1}{4} - \frac{0}{4}

= \ \frac{1}{4}

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas dos áreas, es decir,

A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Calcular el área por debajo de una curva que está debajo del Eje X pierde sentido literario, tampoco tiene mucho sentido hablar de áreas negativas. Es por esto que simplemente multiplicar por menos uno no parece una respuesta satisfactoria cuando calculamos áreas si la función tiene imágenes negativas. Es por esto que debemos generalizar nuestra motivación para replantear el enfoque de la integral definida y definirla no como el área bajo la curva si no como el área encerrada entre la curva y el Eje X.

Es posible determinar el área entre dos curvas basándose en la forma que calculamos la longitud de un intervalo, es decir, tomando el valor más grande y restándole el valor más pequeño. De esta forma, si consideramos dos funciones g(x) \leq f(x) continuas en un intervalo [a,b], podemos calcular el área encerrada entre las curvas que definen tomando el área de la función f(x) que está por encima y le restamos el área la función g(x) que está por debajo,

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Por lo tanto, calculamos el área entre las curvas que definen las funciones f(x) y g(x) de la siguiente forma:

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Vemos con algunos ejemplos como calcular encerradas entre curvas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área encerrada entre las curvas f(x)=x^3 y g(x)=0 en el intervalo [0,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Notamos que la función g(x) está por encima del la función f(x). Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A

= \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx

= \ \int_{-1}^{0} 0 dx - \int_{-1}^{0} x^3 dx

= \ 0 - \int_{-1}^{0} x^3 dx

= \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)

= \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)

= \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)

= \ \frac{1}{4}

Este ejemplo nos señala el porqué basta con multiplicar por menos uno al calcular el área bajo la curva de una de una función con imágenes negativas.

Ejemplo 2

Calcule el área encerrada entre las curvas f(x)=x y g(x)=x^2 en el intervalo [0,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Notamos que la función f(x) está por encima del la función g(x). Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A

= \ \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} g(x) dx

= \ \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} x^2 dx

= \ \int_{0}^{1} \left( x- x^2 \right) dx

= \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{0}

= \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right)

= \ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 \right)

= \ \frac{1}{6}

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Ejemplo 3

Calcule el área encerrada entre las curvas f(x)=-(x-2)^2 + 4 y g(x)=x^2 en el intervalo [-1,3].

En los ejemplos anteriores los puntos de intersección entre ambas funciones eran obvios y así fue bastante claro determinar los puntos en los que unas función estaba por encima de la otra, sin embargo, esto no siempre es así.

Antes de identificar el área que se debe calcular, es necesario calcular los puntos de intersección entre ambas funciones y así apreciar los puntos en los que la una función pasa a estar encima de la otra.

Para calcular los puntos de intersección entre dos funciones, basta con igualar las expresiones que las definen, es decir,

-(x-2)^2 + 4 = x^2

En este caso podemos agrupar todos los elementos de un sólo lado de la ecuación para plantear una ecuación cuadrática de la siguiente forma

-(x^2 - 4x + 4) + 4 = x^2 \Rightarrow -x^2 + 4x - 4 + 4 = x^2 \Rightarrow -2x^2 + 4x = 0

Y aplicando el método de su preferencia para calcular la solución de una ecuación cuadrática, obtenemos que los puntos de intersección entre las dos funciones son x=0 y x=2, notando que ambos están dentro del intervalo dado. Identificamos el área que queremos calcular

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Entonces, par calcular el área debemos partir el intervalo en tres partes, ya que funciones involucradas se relacionan de forma diferente en cada una de esta partes. Entonces tenemos que calcular tres áreas y posteriormente sumarlas.

Notamos que la función g(x) está por encima del la función f(x) en el intervalo [-1,0]. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A_1

= \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx

= \ \int_{-1}^{0} x^2 dx - \int_{-1}^{0} -(x-2)^2 + 4 dx

= \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx

= \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx

= \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{-1}^{0}

= \ \left( \frac{(0)^3}{3} + \frac{(0-2)^3}{3} - 4(0) \right)

- \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1-2)^3}{3} - 4(-1) \right)

= \ \left( 0 - \frac{8}{3} - 0 \right)

- \left( - \frac{1}{3} - \frac{27}{3} + 4 \right)

= \ - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} + 9 - 4

= \ \frac{8}{3}

Notamos que la función f(x) está por encima del la función g(x) en el intervalo [0,2]. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A_2

= \ \int_{0}^{2} f(x) dx - \int_{0}^{2} g(x) dx

= \ \int_{0}^{2} -(x-2)^2 + 4 dx - \int_{0}^{2} x^2 dx

= \ \int_{0}^{2} \left( -(x-2)^2 + 4 - x^2 \right) dx

= \ \left. \left( -\frac{(x-2)^3}{3} + 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}

= \ \left( -\frac{(2-2)^3}{3} + 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right)

- \left( -\frac{(0-2)^3}{3} + 4(0) - \frac{(0)^3}{3} \right)

= \ \left( 0 + 8 - \frac{8}{3} \right)

- \left( - \frac{(-8)}{3} + 0 + 0 \right)

= \ 8 - \frac{8}{3} - \frac{8}{3}

= \ \frac{8}{3}

Notamos que la función g(x) está por encima del la función f(x) en el intervalo [2,1]. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A_3

= \ \int_{2}^{3} g(x) dx - \int_{2}^{3} f(x) dx

= \ \int_{2}^{3} x^2 dx - \int_{2}^{3} -(x-2)^2 + 4 dx

= \ \int_{2}^{3} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx

= \ \int_{2}^{3} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx

= \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{2}^{3}

= \ \left( \frac{(3)^3}{3} + \frac{(3-2)^3}{3} - 4(3) \right)

- \left( \frac{(2)^3}{3} + \frac{(2-2)^3}{3} - 4(2) \right)

= \ \left( \frac{27}{3} + \frac{1}{3} - 12 \right)

- \left( \frac{8}{3} + \frac{0}{3} - 8 \right)

= \ 9 + \frac{1}{3} - 12 - \frac{8}{3} - 0 + 8

= \ \frac{8}{3}

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas tres áreas, es decir,

A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 8


El Teorema Fundamental del Cálculo

Calcular áreas puede resultar tedioso si cada vez debemos calcular límites de Sumas de Riemann, sin embargo, esto no necesariamente debe ser así. A continuación veremos un resultado matemático cuya importancia radica en que enlaza el cálculo diferencial (derivadas y antiderivadas) con un concepto netamente geométrico como el cálculo de áreas. Citando a Michael Spivak en su libro de Cálculo Infinitesimal:

La derivada no despliega toda su fuerza hasta que se alía con la “integral”… El estudio de las integrales requiere una preparación larga, pero una vez hecho este trabajo preliminar, las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir nuevas funciones y la derivada volverá a aparecer, más poderosa que nunca (en el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal)…

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El Teorema Fundamental del Cálculo usualmente se presenta en dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Si f(x) es una función integrable en un intervalo [a,b] y A(x) es una función definida como

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Si f(x) es continua en un punto x_0. Entonces, la función A(x) es derivable en el punto x_0 y además,

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Demostración:

Consideremos un punto x_0 en el intervalo [a,b], entonces verifiquemos si A(x) es derivable en el punto x_0, es decir, verifiquemos que existe el siguiente límite:

A'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}

Para esto, estudiemos las derivadas laterales de la función A(x) en el punto x_0 para verificar si estas existen y son iguales.

Caso I: La derivada de la función A(x) por la derecha en el punto x_0 está definida para h>0 de la siguiente forma

\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}

La función f(x) es continua en el intervalo [a,b], esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número m_h de la siguiente forma:

m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base h y altura m_h, es menor que el área bajo la curva que define f(x).

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De igual forma, la función f(x) estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número M_h de la siguiente forma:

M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base h y altura M_h, es mayor que el área bajo la curva que define f(x).

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Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función f(x) en el intervalo [x_0,x_0+h], es decir,

h \cdot m_h \leq \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx \leq h \cdot M_h

Tomando en cuenta que a \leq x_0 < x_0+h, podemos partir el área que bajo la curva que define f(x) en el intervalo [a,x_0+h] de la siguiente forma:

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Es decir, un área en el intervalo [a,x_0] y otra área en el intervalo [x_0,x_0+h]. De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo [a,x_0+h] de la siguiente forma

\int_a^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx

Inmediatamente, debemos notar que A(x_0) =\int_{a}^{x_0} f(x) \ dx y que A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx para concluir que \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = A(x_0+h) - A(x_0) y en consecuencia

h \cdot m_h \leq A(x_0+h) - A(x_0) \leq h \cdot M_h

Dividimos cada elemento de la inecuación por h y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h

Finalmente, para determinar el límite de la función \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} cuando h \to 0 aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones m_h y M_h tienden a f(x_0) cuando h \to 0. De esta forma, concluimos que

\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)

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Caso II: La derivada de la función A(x) por la izquierda en el punto x_0 está definida para h<0 de la siguiente forma

\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}

La función f(x) es continua en el intervalo [a,b], esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número m_h de la siguiente forma:

m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base (-h) y altura m_h, es menor que el área bajo la curva que define f(x).

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De igual forma, la función f(x) estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número M_h de la siguiente forma:

M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base (-h) y altura M_h, es mayor que el área bajo la curva que define f(x).

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Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función f(x) en el intervalo [x_0,x_0+h], es decir,

(-h) \cdot m_h \leq \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx \leq (-h) \cdot M_h

Tomando en cuenta que a \leq x_0 < x_0+h, podemos partir el área que bajo la curva que define f(x) en el intervalo [a,x_0+h] de la siguiente forma:

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Es decir, un área en el intervalo [a,x_0+h] y otra área en el intervalo [x_0+h,x_0]. De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo [a,x_0] de la siguiente forma

\int_a^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx + \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx

Inmediatamente, debemos notar que A(x_0) = \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx y que A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx para concluir que \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = A(x_0) - A(x_0+h) y en consecuencia

(-h) \cdot m_h \leq A(x_0) - A(x_0+h) \leq (-h) \cdot M_h

Dividimos cada elemento de la inecuación por (-h) y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

m_h \leq \frac{A(x_0) - A(x_0+h)}{(-h)} \leq M_h

\Rightarrow \ m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h

Finalmente, para determinar el límite de la función \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} cuando h \to 0 aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones m_h y M_h tienden a f(x_0) cuando h \to 0. De esta forma, concluimos que

\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)

Habiendo calculado las derivadas laterales, verificando que estas existen y son iguales, concluimos que la derivada de la función A(x) en el punto x_0 existe y está definida de la siguiente forma

A'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)

Que es lo que queríamos demostrar.

Es importante destacar, que si la función f(x) en esta primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo es continua en todo el intervalo [a,b], entonces podemos concluir que para todo x \in [a,b], se tiene que

A'(x) = f(x)

De esta forma, sentamos una base para poder enunciar la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.


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El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b] y A(x) es una antiderivada de esta, entonces

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Cálculo de Área Bajo la Curva

Esta segunda parte es la que presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias. Veamos con algunos ejemplos como calcular áreas bajo curvas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área bajo la curva f(x)=x en el intervalo [0,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

A =

= \ \int_0^1 x dx

= \ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1

= \ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}

= \ \frac{1}{2} - \frac{0}{2}

= \ \frac{1}{2}

Ejemplo 2

Calcule el área bajo la curva f(x)=x^2 en el intervalo [0,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

A =

= \ \int_0^1 x^2 dx

= \ \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1

= \ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}

= \ \frac{1}{3} - \frac{0}{3}

= \ \frac{1}{3}

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Ejemplo 3

Calcule el área bajo la curva f(x)=\sqrt{x+2} en el intervalo [-1,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

A =

= \ \int_{-1}^{1} \sqrt{x+2} dx

= \ \int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{2}} dx

= \ \left. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} \right|_{-1}^{1}

= \ \frac{2}{3} (1+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-1+2)^{\frac{3}{2}}

= \ \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}

= \ \frac{2}{3} \sqrt{3^3} - \frac{2}{3}

= \ 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}


Es importante señalar que aunque la integral definida es una herramienta usada principalmente para calcular áreas bajo curvas, el Teorema Fundamental del Cálculo permite determinar elementos de interés en distintos campos de la ciencia, ingeniería y economía; es por esto que debemos tomar en cuenta que al considerar aplicaciones prácticas, estas pueden no representar áreas en el plano cartesiano.