El Método de Ruffini

¡¿Dividir polinomios?!

El Método de Ruffini o Regla de Ruffini tiene su base en la división de polinomios y nos permite calcular las raíces de polinomios de grado mayor que dos, pero si queremos entender la división entre polinomios, al menos debemos tener clara la división entre números reales.

Consideremos dos números reales p y q. Al dividir p entre q, buscamos un número real tal que al multiplicarlo por q el resultado sea exactamente p. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por q el resultado está lo más cercano a p y que sea menor que p. En general, si c es el número real que estamos buscando, entonces podemos decir que p = c \cdot q + r, para algún r \geq 0 que llamaremos el resto de la división y además diremos que la división es exacta si el resto es igual a cero, es decir, r=0.

Por ejemplo, si dividimos 15 entre 4, entonces buscamos un número tal que al multiplicarlo por 4 el resultado sea igual a 15 ó que esté cerca de 15. Si consideramos el número 3, entonces 4\cdot 3 = 12, por lo tanto decimos que 15 = 4 \cdot 3 + 3. En este caso la división no es exacta.

Por otra parte, si dividimos 15 entre 3, entonces buscamos un número tal que al multiplicarlo por 3 el resultado sea igual a 15 ó que esté cerca de 15. Si consideramos el número 5, tenemos que 15 = 3 \cdot 5 + 0 = 3 \cdot 5. En este caso la división sí es exacta.

Esta operación se puede extender al operar entre polinomios. De modo que si consideramos dos polinomios P(x) y Q(x), diremos que calculamos la división de estos buscando otro polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) obtengamos el polinomio P(x). Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) nos resulte un polinomio del mismo grado que P(x). En general, si C(x) es el polinomio que estamos buscando, entones podemos decir que P(X)=C(x) \cdot Q(x) + R(x), para algún polinomio R(x) de grado menor que el grado de Q(x) que llamaremos el resto de la división y además diremos que la división es exacta si el resto es igual a cero, es decir, R(x)=0.

Particularmente si consideramos un polinomio P(x) de grado n y un polinomio Q(x)=(x-r) de grado uno, podemos calcular la división \frac{P(x)}{(x-r)} utilizando el Método de Ruffini que explicaremos con algunos ejemplos de la siguiente forma:

Ejemplo 1

Sean P(x)=4x^3+x^2-3x+5 y Q(x)=(x-1) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos r=1 la raíz del polinomio Q(x), los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

El primer coeficiente de P(x) se pone debajo de la línea horizontal

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al término independiente.

uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio C(x) (que será un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24 y Q(x)=(x-2) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos r=2 la raíz del polinomio Q(x), completamos los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al término independiente.

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Notemos que si al dividir un polinomio P(x) por un polimonio Q(x)=(x-r), la división es exacta, se concluye inmediatamente que r es una raíz del polinomio P(x), por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio P(x) dividiendo a este por polinomios de la forma (x-r) y verificado para cuales casos esta división es exacta.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s