El Método de Ruffini

Dividir Polinomios

El Método de Ruffini o Regla de Ruffini tiene su base en la división de polinomios y nos permite calcular las raíces de polinomios de grado mayor que dos, pero si queremos entender la división entre polinomios, al menos debemos tener clara la división entre números reales.

Consideremos dos números reales p y q. Al dividir p entre q, buscamos un número real tal que al multiplicarlo por q el resultado sea exactamente p. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por q el resultado está lo más cercano a p y que sea menor que p. En general, si c es el número real que estamos buscando, entonces podemos decir que p = c \cdot q + r, para algún r \geq 0 que llamaremos el resto de la división y además diremos que la división es exacta si el resto es igual a cero, es decir, r=0.

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Por ejemplo, si dividimos 15 entre 4, entonces buscamos un número tal que al multiplicarlo por 4 el resultado sea igual a 15 ó que esté cerca de 15. Si consideramos el número 3, entonces 4\cdot 3 = 12, por lo tanto decimos que 15 = 4 \cdot 3 + 3. En este caso la división no es exacta.

Por otra parte, si dividimos 15 entre 3, entonces buscamos un número tal que al multiplicarlo por 3 el resultado sea igual a 15 ó que esté cerca de 15. Si consideramos el número 5, tenemos que 15 = 3 \cdot 5 + 0 = 3 \cdot 5. En este caso la división sí es exacta.

Esta operación se puede extender al operar entre polinomios. De modo que si consideramos dos polinomios P(x) y Q(x), diremos que calculamos la división de estos buscando otro polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) obtengamos el polinomio P(x). Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) nos resulte un polinomio del mismo grado que P(x). En general, si C(x) es el polinomio que estamos buscando, entones podemos decir que P(X)=C(x) \cdot Q(x) + R(x), para algún polinomio R(x) de grado menor que el grado de Q(x) que llamaremos el resto de la división y además diremos que la división es exacta si el resto es igual a cero, es decir, R(x)=0.

El Método de Ruffini

Particularmente si consideramos un polinomio P(x) de grado n y un polinomio Q(x)=(x-r) de grado uno, podemos calcular la división \frac{P(x)}{(x-r)} utilizando el Método de Ruffini que explicaremos con algunos ejemplos de la siguiente forma:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean P(x)=4x^3+x^2-3x+5 y Q(x)=(x-1) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos r=1 la raíz del polinomio Q(x), los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

El primer coeficiente de P(x) se pone debajo de la línea horizontal

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al término independiente.

uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio C(x) (que será un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24 y Q(x)=(x-2) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos r=2 la raíz del polinomio Q(x), completamos los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al término independiente.

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Notemos que si al dividir un polinomio P(x) por un polimonio Q(x)=(x-r), la división es exacta, se concluye inmediatamente que r es una raíz del polinomio P(x), por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio P(x) dividiendo a este por polinomios de la forma (x-r) y verificado para cuales casos esta división es exacta.

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Calcular raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado n que cuenta con n raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos P(x) = (x+2)(x+3), éste se puede expandir como P(x) = x^2 +5x + 6. Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

los divisores del término independiente a_0 serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio P(x), simplemente dividiendo por (x-r), donde r es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 3

Sea P(x)=x^3+4x^2-x-4, consideremos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4. Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 4

Sea P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x - 12, consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 y \pm 12; y aplicamos el Método de Ruffini:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

Ejemplo 5

Sea P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768. Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256) consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 y \pm 256; y aplicamos el Método de Ruffini:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.


2 comentarios en “El Método de Ruffini

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