El Método de Ruffini

Una vez que hemos definido la división entre polinomios, si consideramos particularmente un polinomio $P(x)$ de grado $n$ y un polinomio $Q(x)=(x-r)$ de grado uno, presentaremos un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma

$\frac{P(x)}{(x-r)}$

Utilizando un método alternativo conocido como el Método de Ruffini. Debido a que el caso general puede resultar engorroso de exponer, lo explicaremos con algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean $P(x)=4x^3+x^2-3x+5$ y $Q(x)=(x-1)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ consideramos la raíz del polinomio $Q(x)$ , es decir, $r=1$ y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio $P(x)$ y los disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com — El primer coeficiente de P(x) se pone debajo de la línea horizontal

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=1$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al término independiente.

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio C(x) (que será un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea $P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24$ y $Q(x)=(x-2)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ consideramos la raíz del polinomio $Q(x)$ , es decir, $r=2$ y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio $P(x)$ y los disponemos así:

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=2$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al término independiente.

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Notemos que si al dividir un polinomio $P(x)$ por un polimonio $Q(x)=(x-r)$ , la división es exacta, se concluye inmediatamente que $r$ es una raíz del polinomio $P(x)$ , por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio $P(x)$ dividiendo a este por polinomios de la forma $(x-r)$ y verificado para cuales casos esta división es exacta.

Ejemplo 3

Sea $P(x)=x^4 + x^3 -x^2 -2x- 2$ latex y $Q(x)=x+\sqrt{2}$ , dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ consideramos la raíz del polinomio $Q(x)$ , es decir, $r=-\sqrt{2}$ y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio $P(x)$ y los disponemos así:

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio $P(x)$ por $r=-\sqrt{2}$ y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})$

De esta última expresión podemos concluir que $r=2$ es una raíz del polinomio $P(x)$ .

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Calcular raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado $n$ que cuenta con $n$ raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos $P(x) = (x+2)(x+3)$ , éste se puede expandir como $P(x) = x^2 +5x + 6$ . Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

los divisores del término independiente $a_0$ serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio $P(x)$ , simplemente dividiendo por $(x-r)$ , donde $r$ es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Sea $P(x)=x^3+4x^2-x-4$ , consideremos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ . Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 5

Sea $P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12$ , consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ y $\pm 12$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

Ejemplo 6

Sea $P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768$ . Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener $P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256)$ consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ , $\pm 16$ , $\pm 32$ , $\pm 64$ , $\pm 128$ y $\pm 256$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.

Ejemplos propuestos por los usuarios de totumat

17 comentarios en “El Método de Ruffini”

[…] El Método de Ruffini […]

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angel dice:

13.05.2022 a las 9:02 pm

Alguien que me ayude, se que debo igualar a 0 esta ecuacion – x^{4} + 5 x^{3} + 56 x^{2} + 14 x = 2 x^{3} + 16 x^{2} + 14 x
luego me queda asi -x^4+3x^3+40x^2=0 pero como no tengo termino independiente no puedo aplicar el método del discriminante ya que pide a. b y c o el ruffini ya que depende de el termino independiente :c me siento realmente hueco

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- Anthonny Arias dice:
  
  15.05.2022 a las 10:49 am
  
  Hola, Ángel. Considere x^{2} como un factor común.
  
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regla de Ruffini hallar sus raíces del polinomio H(x) = x3 – 3×2 – 4x – 12= 0 ayudaaaaaa

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Anthonny Arias dice:

30.03.2022 a las 11:13 am

Buenos días, David. ¿Está seguro que ese polinomio está bien escrito? Porque ese polinomio no tiene raíces enteras.

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En el ejercicio 5 me parece que en el polinomio el signo del 12 debería ser positivo y no negativo

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Anthonny Arias dice:

24.02.2022 a las 10:40 am

Buenos días, Adriana. Gracias por su observación, haré la corrección inmediatamente.

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[…] El Método de Ruffini […]

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Buenas me podria ayudar un com un ejercio de division por ruffini por favor es que no lo entiendo
X^4 – 20x^2 -28x + 15

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Anthonny Arias dice:

07.09.2021 a las 4:30 pm

Hola, Mayer. Cuénteme, ¿qué es lo que no entiende del ejercicio? ¿Cuál es el dividendo y cuál es el divisor?

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Buenas me podria ayudar un com un ejercio de division por ruffini por favor es que no lo entiendo
X^4 + x^3 -x^2 -2x- 2 ÷x + √2

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Anthonny Arias dice:

21.07.2021 a las 8:39 am

¡Hola, Gioana! ¡Claro que sí! Ya lo reviso y le doy respuesta.

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- Anthonny Arias dice:
  
  21.07.2021 a las 1:03 pm
  
  Gioana, escriba a https://t.me/totumat para enviarle el ejemplo, que tengo problemas de internet y por ahí se me facilita enviarle una imagen con ele ejemplo resuelto.
  
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HOLA BUENAS NOCHES DISCULPE ME GUSTARÍA QUE ME AYUDARAN Y ME EXPLICARAN A RESOLVER ESTOS EJERCICIOS QUE NO E PODIDO REALIZAR Y TAMPOCO ENTIENDO MUCHO APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI- DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES
3 2 5 4 3 2 3 2 5 4 3
a) X +3X -10X b) X -5X +7X -3X c) X +3X +8X d) 4X +2X -2X Y DISCULPEN EL ABUSO PERO TENGO UN MES VIENDO VIDEOS Y LEYENDO POR INTERNET Y NO E PODIDO RESOLVER ESTOS PROBLEMAS Y OTROS MÁS. DE VERDAD LES AGRADECERÍA MUCHO QUE ME AYUDARAN

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Anthonny Arias dice:

31.12.2020 a las 11:58 pm

Hola, Gilbys. Con gusto le puedo ayudar, pero en los ejercicios de su comentario no se ven correctamente los exponentes de los polinomios.

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[…] Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio es positivo. Para esto calculemos primero sus raíces usando el Método de Ruffini. […]

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[…] Notamos de forma inmediata que es una raíz de la expresión , así que podemos aplicar el Método de Ruffini para factorizarla de la siguiente […]

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