¿La fórmula cuadrática de Po-Shen Loh?

El Doctor en Matemáticas Po-Shen Loh, ha descubierto una nueva forma — ¡más simple! — para deducir la fórmula cuadrática y así calcular la solución de las ecuaciones cuadráticas, es decir, aquellas que se expresan de la forma Ax^2+ Bx+C=0. Esta fórmula ha estado frente a nuestras narices.

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Perdón, ¿quién?

Po-Shen, quien obtuvo su título como matemático en el Instituto de Tecnología de California (Caltech), su maestría en la universidad de Cambridge y finalmente su doctorado en Princeton en el año 2009, ha trabajado arduamente en el desarrollo de nuevas técnicas para la enseñanza de las matemáticas. Es el fundador de la plataforma gratuita de aprendizaje personalizado expii.com, una empresa social respaldada por su serie de cursos de matemáticas en línea, es profesor de matemáticas en la Universidad Carnegie Mellon y entrenador nacional del equipo de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de EE. UU.

¡Los babilonios tenían el secreto!

De acuerdo con lo publicado por Po-Shen en su artículo y lo relatado por el MIT technology review, los babilonios encontraron la ahora famosa fórmula cuadrática para ahorrarse en la engorrosa tarea de pagar impuestos. Particularmente el problema que tenían los babilonios que trabajaban con cultivos fue: dada una factura de impuestos que debe pagarse sobre los cultivos, ¿en cuánto debería aumentar el tamaño de mi campo para pagarla?

Entonces, tomando en cuenta un cultivo cuadrado (o en su defecto rectangular), si el tamaño de este es desconocido se presentará inevitablemente una ecuación cuadrática expresada de la forma Ax^2 +Bx+C=0 y su solución se calcula con la siguiente fórmula:

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La nueva deducción de la fórmula…

Po-Shen partió del hecho que si una ecuación cuadrática de la forma x^2 + Bx + C = 0 tiene dos soluciones R y S, entonces podemos factorizar y reescribir la expresión que la define como sigue:

A partir de aquí utiliza una técnica archiconocida y es que, al presentarse una ecuación de la forma x^2 + Bx + C = 0, ésta puede factorizarse hallando dos números que sumados sean igual a B y multiplicados sean igual a C. De esta forma, tenemos las siguientes igualdades:

R+S = -B

R \cdot S = C

Añadimos el hecho de que la suma de dos números es exactamente -B cuando el promedio de estos es -\frac{B}{2}. Así, R y S deben ser dos números de la forma -\frac{B}{2} \pm z, donde z es un número arbitrario. Entonces, como el producto de esta forma debe ser igual a C, existe una equivalencia entre las siguientes expresiones:

R \cdot S = C

(-\frac{B}{2} + z) \cdot (-\frac{B}{2} - z) = C

(-\frac{B}{2})^2 - z^2 = C

\frac{B^2}{4} - z^2 = C

- z^2 = C - \frac{B^2}{4}

z^2 = \frac{B^2}{4} -C

z = \pm \sqrt{ \frac{B^2}{4} -C}

Entonces, como en un principio hemos dicho que R y S son las soluciones de nuestra ecuación cuadrática, entonces al sustituir z en la expresión -\frac{B}{2} \pm z concluimos que la solución de la ecuación cuadrática x^2 + Bx + C = 0 viene dada por

Veamos como aplicar esta fórmula cuando se nos presenta una ecuación cuadrática.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

x^2 + 5x+6 = 0

Identificando los coeficientes B=5 y C=6, entonces la solución de esta ecuación viene dada de la siguiente forma

-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}

-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{5^2}{4}-6}

-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}-6}

-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25-24}{4}}

-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}

-\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{1}{2}

-\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}

\dfrac{-5+1}{2}

\dfrac{-4}{2}

-2

-\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}

\dfrac{-5-1}{2}

\dfrac{-6}{2}

-3

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática x^2 + 5x+6 viene dada por x=-2 y x=-3.

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

3x^2 +9x-12 = 0

Debemos notar que si el coeficiente A es distinto de 1 tal como se presenta en este ejemplo, es conveniente sacarlo como factor común para obtener la fórmula 3(x^2 +3x-4) = 0 y entonces, consideramos los coeficientes B=3 y C=-4 de nuestro nuevo factor.

-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}

-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{3^2}{4}-(-4)}

-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}+4}

-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9+16}{4}}

-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}}

-\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{5}{2}

-\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}

\dfrac{-3+5}{2}

\dfrac{2}{2}

1

-\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2}

\dfrac{-3-5}{2}

\dfrac{-8}{2}

-4

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática 3x^2 +9x-12 = 0 viene dada por x=1 y x=-4.

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Ejemplo 3

Calcule los valores de x que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

-x^2 +7x-10 = 0

Debemos notar que si el coeficiente A es distinto de 1 tal como se presenta en este ejemplo, es conveniente sacarlo como factor común para obtener la fórmula -(x^2 -7x+10) = 0 y entonces, consideramos los coeficientes B=-7 y C=10 de nuestro nuevo factor.

-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}

-\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{(-7)^2}{4}-10}

\dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}-10}

\dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49-40}{4}}

\dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}}

\dfrac{7}{2} \pm \dfrac{3}{2}

\dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2}

\dfrac{7+3}{2}

\dfrac{10}{2}

5

\dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2}

\dfrac{7-3}{2}

\dfrac{4}{2}

2

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática -x^2 +7x-10 = 0 viene dada por x=5 y x=2.


El artículo formal del Dr. Po-Shen Loh fue publicado en Arxiv.org (un repositorio de artículos científicos de la Universidad de Cornell que cuenta hasta la fecha con 1.628.829 artículos en los campos de física, matemática, informática, biología cuantitativa, finanzas cuantitativas, estadística, ingeniería eléctrica y ciencia de sistemas, y economía) y puede consultarse en el siguiente enlace: https://arxiv.org/abs/1910.06709

8 comentarios en “¿La fórmula cuadrática de Po-Shen Loh?

  1. Muy buena forma de encontrar las raíces de una parábola o ecuación cuadrática, sirve de mucho ya la he empleado en unos casos y da perfectamente las raíces que se quieren…
    Pues jugando con ese análisis de la gráfica llegue a esa forma de realizarlas en vez de la Fórmula general y la encontré a partir del punto medio de una parábola luego noté que no importaba que “a=1” no era necesario, probe con otras ecuaciones que no tenían el valor “a=1” osea “a=R” y medio perfectamente como que si estuviera utilizando la Fórmula general cuadratica solo hay unas modificaciones pero que son de ayuda en el análisis…

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    • Buenas tardes, si considera -x^2, entonces la parábola es cóncava. El método que propone Loh no es exactamente algo nuevo, es una particularidad del Método del Discriminante para cuando el coeficiente a es igual a 1. Es por esto que los ejemplos con -x^2 no se citan, pues en ese caso el coeficiente a es igual a -1. De cualquier forma, se pueden calcular las raíces sacando a -1 como un factor común. Por ejemplo, si consideramos la ecuación -x^2 +7x -9=0, es lo mismo que -(x^2-7x+9)=0.

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  2. esta fórmula resolutiva es un caso particular de la fórmula que usa el discriminante, usando A = 1. pronto, si sustituimos B por b / a y C por c / a, llegaremos a la fórmula del discriminante. De la misma manera que si reemplazamos A con 1 y lo separamos, llegaremos a esta “nueva” solución.

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