Inecuaciones Cuadráticas (1 de 2)

¡Retomemos la Ley de los Signos!

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas, es posible definir las inecuaciones cuadráticas considerando tres números reales a, b y c, de la siguiente forma

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Donde > pudiera ser cualquier desigualdad.

Donde “>” representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq. Tomando en cuenta que al conocer las raíces de un polinomio cuadrático, éste se puede reescribir como el producto de dos factores, plantearemos la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la ley de los signos.

Para esto hacemos dos preguntas: ¿Cuándo el producto de dos números es positivo? y, ¿cuándo el producto de dos números es negativo? Para responderlas, debemos plantear dos casos:

Caso 1: ax^2+bx+c > 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q > 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q > 0
ó
p < 0 \text{ y }  q < 0

Es decir, ambos números p y q deben ser ambos positivos o ambos negativos al mismo tiempo. Ya que “más por más es más” y “menos por menos es más”. Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad “mayor o igual” (\geq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x-2) \cdot (x+3) > 0

Consideremos una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado de la siguiente forma: (x-2) \cdot (x+3) > 0, Entonces, considerando los dos factores (x-2) y (x+3) tenemos que

x-2 > 0 \text{ y } x+3 > 0
ó
x-2 < 0 \text{ y } x+3 < 0

Notamos entonces que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad. Así,

x > 2 \text{ y } x > -3 (1)
ó
x < 2 \text{ y } x < -3 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución (1): Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (2,+\infty) y (-3,+\infty) así

(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

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intersección de los dos intervalos

Solución (2): Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,2) y (-\infty,-3) así

(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

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intersección de los dos intervalos

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)

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unión de los dos intervalos

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + 6x + 8  \geq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a=1, b=6 y c=8:

x  =  \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ -6  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -2 y x_2 = -4, por lo tanto, podemos reescribir la inecuación cuadrática de la forma: (x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 )) \geq 0 que a su vez se puede expresar como

(x  +2 ) \cdot (x  +4 ) \geq 0

x+2 \geq 0 \text{ y } x+4 \geq 0 (1)
ó
x+2 \leq 0 \text{ y } x+4 \leq 0 (2)

\Rightarrow  x \geq -2 \text{ y } x \geq -4 (1)
ó
\Rightarrow  x \leq -2 \text{ y } x \leq -4 (2)

Solución (1):

[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)

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Solución (2):

(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]

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Solución General:
[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]

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Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática. Luego consideraremos el caso 2, donde estudiaremos qué ocurre si el producto de dos números es negativo.


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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