1. Funciones como Relaciones
   1. Dominio y Rango de una Función
   2. Ejemplos
      1. Ejemplo 1: Relación que sí es una función
      2. Ejemplo 2: Relación que no es una función
2. Diagramas Sagitales
   1. Ejemplos
      1. Ejemplo 3: Relación que sí es una función
      2. Ejemplo 4: Relación que sí es una función
      3. Ejemplo 5: Relación que no es una función
      4. Ejemplo 6: Relación que no es una función

Habiendo definido las relaciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos considerar un grupo de relaciones muy particular que cumple un papel fundamental en el estudio de las matemáticas, particularmente cuando estamos estudiando conjuntos numéricos.

Funciones como Relaciones

Si consideramos dos conjuntos y , una función es una relación del conjunto con el conjunto que corresponde a todo elemento que está en con un único elemento que está en , generalmente se identifica con la letra y se denota de la siguiente forma

.

Identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento del conjunto con un elemento del conjunto con el par ordenado (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).

Al conjunto se le conoce como el conjunto de salida y al conjunto se le conoce como el conjunto de llegada.

Dominio y Rango de una Función

Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:

• Al conjunto se le conoce como el conjunto de salida
• Al conjunto se le conoce como el conjunto de llegada.
• Al conjunto de elementos de correspondido con elementos de se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes. Notemos que de la forma en que están definidas las funciones, el dominio será igual al conjunto de salida.
• Si un elemento de de está correspondido con un elemento de de , diremos que es una preimagen de .
• Al conjunto de elementos de correspondido con elementos de se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
• Si un elemento de de está correspondido con un elemento de de , diremos que es una imagen de .

Ejemplos

Ejemplo 1: Relación que sí es una función

Considere el conjunto conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues a cada niño se le corresponde un sólo gorro, así, podemos expresar la función como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

= { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

• El dominio es {Ana, José, Roberto}.
• El rango es {Verde, Morado, Azul}.

Ejemplo 2: Relación que no es una función

Considere el conjunto conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.

Esta relación no es una función entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues la marca Pixel está correspondida con dos características, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

= { (Pixel, Cámara HD) ; (Pixel, Conectividad 5G) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Pero tomando en cuenta que esta relación no es una función.

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

• El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
• El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.

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Las relaciones que son funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

• Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
• Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
• La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que si la relación es una función, entonces de todos y cada de los elementos del conjunto debe salir exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3: Relación que sí es una función

Considere el conjunto conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de niños y el conjunto actividades pues a cada niño se le ha correspondido una sola actividad, así, podemos expresar la función como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

= { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto sale sólo una línea, de la siguiente manera:

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

• El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
• El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.

Ejemplo 4: Relación que sí es una función

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues cada automóvil se ha pintado de un único color, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

= { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto sale sólo una línea, de la siguiente manera:

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

• El dominio es {1,2,3,4}.
• El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 5: Relación que no es una función

Considere el conjunto conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.

Esta relación no es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues al automóvil número 2 se le han correspondido dos colores distintos, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

= { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (2, Azul) ; (3, Rojo) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que del automóvil número 2 salen dos líneas, de la siguiente manera:

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

• El dominio es {1,2,3,4}.
• El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 6: Relación que no es una función

Considere el conjunto conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los números: 1, 2, 3, 4.

Diremos que un elemento del conjunto está relacionado con un elemento del conjunto si es un divisor de , es decir, tal que la división es exacta.

Esta relación no es una función entre el conjunto y el conjunto por varias razones: al número 1 se le han correspondido cuatro números distintos, al número 2 se le han correspondido dos números distintos y al número 5 no se le ha correspondido con ningún número, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

= { (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,4) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que del número 1 salen cuatro líneas, del número 2 salen dos líneas y del número 5 no sale ninguna línea, de la siguiente manera:

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

• El dominio es {1,2,3,4}.
• El rango es {1,2,3,4}.

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