Funciones en Varias Variables | totumat.com

Funciones en Varias Variables

Hemos estudiado funciones que de forma explícita, dependen de sólo una variable y aunque también hemos estudiado funciones que definidas de forma implícita relacionan dos variables, no hemos estudiado formalmente funciones que dependan de dos o más variables.

Para ir más allá, recurrimos a una nueva variable z que dependerá enteramente de las variables x y y. Notando que al definir una tercera variable, podemos hacer la representación gráfica de este tipo de funciones tomando en cuenta que hasta ahora hemos construido nuestros espacios intersectando ejes coordenados de forma perpendicular.

Esta vez no será diferente, así que considerando el plano cartesiano, intersectaremos a este en el origen con un eje perpendicular a los Ejes Y y X generando así el espacio cartesiano que consta de tres ejes coordenados X, Y y Z:

En este espacio podemos identificar tres planos principales, que se definen de la siguiente manera: El plano XY que contiene todos los puntos de la forma (x,y,0), el plano XZ que contiene todos los puntos de la forma (x,0,z) y el plano YZ que contiene todos los puntos de la forma (0,y,z).

De esta forma, podemos generalizar la definición de función que hasta ahora conocemos. Formalmente, si R una región en el plano XY, entonces definimos una función f : R \to \mathbb{R} como una regla de correspondencia que corresponde a cada par ordenado de la región R con un único número real z = f(x,y).

A este tipo de funciones las llamaremos funciones de dos variables. Evaluamos este tipo de funciones sustituyendo los valores de x y y por sus valores correspondientes, y así, calculamos sus imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender como calcular imágenes.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Evalúe la función f(x,y) = x^2 + y^2 en el punto (3,-1). Entonces sustituimos x por 3 y y por -1 de la siguiente forma:

f(3,-1) = (3)^2 + (-1)^2= 9 + 1= 10

Ejemplo 2

Evalúe la función f(x,y) = \sqrt{x+20} + \textit{\Large e}^{2x-8} + 20 en el punto (-13,4). Entonces sustituimos x por -13 y y por 4 de la siguiente forma:

f(-13,4) = \sqrt{-13+20} + \textit{\Large e}^{2(4)-8} + 20 = \sqrt{9} + \textit{\Large e}^{0} + 20 = 3 + 1 + 20 = 24

Ejemplo 3

Evalúe la función f(x,y) = \frac{7}{x+y} en el punto (18,10). Entonces sustituimos x por 18 y y por 10 de la siguiente forma:

f(18,10) = \frac{7}{18+10} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}


Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones definidas en varias variables, una de ellas es proyectar la superficie que esta define en cada plano.

Por ejemplo, si consideramos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2, podemos ver su proyección en el plano XZ tomando y=0 y de esta forma la función se convierte en Z=f(x,0)=x^2+0^2 \Rightarrow z=x^2; también podemos ver su proyección en el plano YZ tomando x=0 y de esta forma la función se convierte en Z=f(0,y)=0^2+y^2 \Rightarrow z=y^2. Sus gráficas respectivas serán

Finalmente, se completa la superficie uniendo las curvas trazadas


Grado de una función

El grado de un polinomio

Anteriormente hemos definido los polinomios, así que no será sorpresa definir funciones a partir de ellos. Definiremos entonces una función polinómica como una función P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} de la siguiente forma:

A los números a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n los llamaremos coeficientes del polinomio, a_n será el coeficiente principal y a_0 será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica P(x) como el mayor exponente n involucrado en la expresión que lo define, en algunos textos se denota con la expresión gr(P), d(P) ó deg(P).

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable x y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

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El grado de una función algebraicas

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Entonces, diremos que su grado es \frac{1}{n}. Más aún, si P(x) es una función algebraica de grado m entonces si consideramos la función

f(x) = \sqrt[n]{P(x)}

Entonces el grado de la función f(x) es igual a \frac{m}{n}.

El grado de una función trascendental

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier función algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, con m>n, entonces el grado de f(x) \pm g(x) es igual a m.

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, entonces el grado de f(x) \cdot g(x) es igual a m + n.

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar f(x) una función de grado m y g(x) \neq 0 una función de grado n, entonces el grado de \frac{f(x)}{g(x)} es igual a m - n.

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

El grado de la función f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 1 es igual a 3 pues el mayor grado involucrado.

Ejemplo 2

El grado de la función f(x) = \sqrt{x} + x - 8 es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 3

El grado de la función f(x) = \sqrt{x^3 + 2} - 3x - 8 es igual a \frac{3}{2} pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 4

El grado de la función f(x) = \frac{x}{3} + 6\ln(x) es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 5

El grado de la función f(x) = x^5 \cdot \sqrt[3]{x-7} + 9 es igual a \frac{8}{3} pues es la suma de los grados 5 + \frac{1}{3}

Ejemplo 6

El grado de la función f(x) = 2\text{\large e}^x \cdot x + x^2 -11 es exponencial pues al multiplicar cualquier función por la función exponencial, su grado sigue siendo exponencial.

Ejemplo 7

El grado de la función f(x) = \frac{x + 1}{x^3 - 2} + 13 es -2 pues es la resta de los grados 1-3

Ejemplo 8

El grado de la función f(x) = \frac{7}{x} + 9\ln(x) es logarítmico pues el grado de la primera función es -1 y el grado logarítmico es mayor que cualquier grado negativo.


Funciones por Partes

Esta publicación será corta pero sentará una base conceptual para entender algunos conceptos en el estudio local del comportamiento de algunas funciones pues en ocasiones encontraremos funciones cuyo comportamiento no está definido de una sola forma en todo su dominio, para esto debemos partir el dominio y definir las expresiones que describen su comportamiento en cada parte de su dominio.

Formalmente llamaremos a este tipo de funciones como Funciones Por Partes o Funciones Definidas a Trozos. Veamos algunos ejemplos para aclarar esta idea.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

En el ejemplo anterior la imágenes de ambas expresiones coincidieron en el punto donde se partió su dominio. En este caso las imágenes no coinciden, así que en la gráfica denotamos con un punto sin relleno \circ que la imagen no está incluida en el extremo y denotamos con un punto relleno \bullet que la imagen sí está incluida en el extremo de la siguiente manera:

Ejemplo 3

El dominio de una función también puede partirse en más de dos partes para definir las expresiones que describen su comportamiento.

Límites

Al definir las funciones elementales, pudimos hacer un estudio general de ellas en todo su dominio cuando vimos sus gráficas. Haremos ahora un estudio local de éstas, y para esto las estudiaremos en intervalos reducidos. Para entender esta idea, consideremos las función f(x)=x^2, consideremos el intervalo (1,3) que está centrado en x_0=2, notamos que el conjunto de las imágenes en este intervalo quedan encerradas en el intervalo (1,9).

Si consideramos un intervalo contenido en el intervalo (1,3) y centrado en x=2, veremos que las imágenes de este nuevo intervalo estarán también contenidas en el intervalo (1,9). Podemos hacer este mismo procedimiento reiteradas veces encajando intervalos de la siguiente manera:

Entonces, podemos pensar en lo siguiente: Si en el Eje X estamos encerrando a 2, ¿a quién estamos encerrando en el Eje Y? Intuitivamente, podemos pensar que estamos encerrando a 4 pues 2^2 = 4 y efectivamente es así. Haciendo este estudio de la función, podemos formalizarlo como el límite de la función x^2 cuando x tiende a 2 es igual a 4 y se representa así

\lim_{x \to 2} x^2 = 4

De forma general, considerando una función f(x), diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x_0 es igual a un número L es el estudio del comportamiento de f(x) para valores de x muy cercanos a x_0 (cercanos, no iguales), concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de x están muy cercanos a L. Formalmente se representa así

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número \epsilon > 0 , existe un número \delta > 0 tal que si
0 < |x-x_0| < \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

También podemos decir que f(x) tiende a L cuando x tiende a x_0. Nuestro propósito será el de determinar los valores a los que tiende la función y esto es tan sencillo como evaluar la función en el punto dado.

Para facilitar el cálculo de límites es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre funciones, podremos separarlas de la siguiente manera: Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites son L y M de forma respectiva cuando x tiende a x_0; y a es un número real, entonces

  • \lim_{x \to x_0} a = a
  • \lim_{x \to x_0} a \cdot f(x) = a \cdot L
  • \lim_{x \to x_0} ( f(x) \pm g(x) ) = L \pm M
  • \lim_{x \to x_0} ( f(x) \cdot g(x) ) = L \cdot M
  • \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M} \text{ si } g(x) \neq, M \neq 0

veamos algunos ejemplos sobre como determinar los límites en algunas funciones elementales para entender con mayor claridad esta idea.

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función f(x)=x+3 cuando x tiende a 4.

\lim_{x \to 4} x+3 = 4 + 3 = 7

Esto quiere decir que para los valores de x muy cercanos a 4, las imágenes de la función f(x)=x+3 se acercan a 7. Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función f(x)=\sqrt{x+7}-4 cuando x tiende a -3.

\lim_{x \to -3} \sqrt{x+7}-4 = \sqrt{-3+7}-4 = \sqrt{4}-4 = 2-4 =-2

Esto quiere decir que para los valores de x muy cercanos a -3, las imágenes de la función f(x)=\sqrt{x+7}-4 se acercan a -2. Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función f(x)=\frac{1}{x-2}+1 cuando x tiende a 5.

\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-2}+1 = \frac{1}{5-2}+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}

Esto quiere decir que para los valores de x muy cercanos a 5, las imágenes de la función f(x)=\frac{1}{x-2}+1 se acercan a \frac{4}{3}. Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 4

También hay funciones cuya gráfica no conocemos pero de las que podemos calcular su límite, usando la misma técnica. Calcule el límite de la función f(x)=\text{\large e}^{x^2 - 1} + x cuando x tiende a 1.

\lim_{x \to 1} \text{\large e}^{x^2 - 1} + x = \text{\large e}^{1^2 - 1} + 1 = \text{\large e}^{1 - 1} + 1 = \text{\large e}^{0} + 1 = 1 +1 = 2

Ejemplo 5

Calcule el límite de la función f(x)= x^2 + 5x + 6 cuando x tiende a -2.

\lim_{x \to -2} x^2 + 5x + 6 = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0


Composición de Funciones y Dominio de Funciones Compuestas

Composición de Funciones

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos g : A \longrightarrow B y f: C \longrightarrow D dos funciones, definimos la composición de g con f como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento a \in A un único elemento c \in C, la denotamos como f \circ g : A \longrightarrow D y la definimos de la siguiente forma:

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2-2 y g(x)=x+1, calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)  =  f \Big( g(x) \Big)  =  \big( g(x) \big)^2-2  =  (x+1)^2-2

Ejemplo 2

Sean f(x)=\dfrac{3}{x+2} y g(x)=\ln(x-1), calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \dfrac{3}{g(x)+2} = \dfrac{3}{\ln(x-1)+2}

Ejemplo 3

Sean f(x)={\rm e}^{2x+5} y g(x)=\sqrt{1-x}, calcule \Big(g \circ f \Big) (x).

\Big(g \circ f \Big) (x) = g \Big( f(x) \Big) = \sqrt{1 - f(x)} = \sqrt{1 - {\rm e}^{2x+5}}


Básicamente al componer la función g con la función f, estamos sustituyendo el argumento de la función f con la función g.

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Dominio de una Función compuesta

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de g : A \longrightarrow B cuyas imágenes están en el dominio de f: C \longrightarrow D, es decir,

Dom(f \circ g ) = \{ x \in Dom(g) : g(x) \in Dom(f) \}

Consideremos un Diagrama de Venn para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama de Venn, el dominio de la función (f \circ g ) será el conjunto formado por a_1 y a_2. Notemos que si el rango de la función g está enteramente contenido en el dominio de la función f, entonces

Dom\Big(f \circ g \Big) = dom(f)

Determinar el dominio de una función compuesta (f \circ g ) no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de x para los cuales g(x) satisface las condiciones impuestas por el dominio de f. Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Para calcular el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1), debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-1 compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales

x^2-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución.

x-2 > 0 y x+3 > 0
ó
x-2 < 0 y x+3 < 0

x > 2 y x > -3 (1)
ó
x < 2 y x < -3 (2)

Solución (1):
(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

Solución (2):
(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

Por lo tanto, la solución general es (2,+\infty) \cup (-\infty,-3) que a su vez, es el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1).

Ejemplo 5

Para calcular el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}, debemos notar que esta función es el resultado de la función \sqrt{x+1} compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de \sqrt{x+1}, es decir, todos los números reales para los cuales x+1 \geq 0.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}} es [-1,+\infty).

Ejemplo 6

Para calcular el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9}, debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-9 compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales x^2-9 = 0 y los excluimos.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9} es \mathbb{R} - \{ -3,3\}.