Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Transformación de Funciones

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Dibuje un bosquejo de la función f_{i}(x) indicada en el plano cartesiano e indique, su dominio y rango.

  1. f_{ 1 } (x) = x + 3
  2. f_{ 2 } (x) = \frac{7}{6} \cdot x - 9
  3. f_{ 3 } (x) = -\frac{7}{2} \cdot (x + 5) + 8
  4. f_{ 4 } (x) = \frac{3}{8} \cdot (x - 5)+ 6
  1. f_{ 5 } (x) = \cdot ( x - 1 )^2 - 4
  2. f_{ 6 } (x) = -3 \cdot ( x + 10 )^2 - 2
  3. f_{ 7 } (x) = \frac{1}{5} \cdot ( x + 8 )^2 - 7
  4. f_{ 8 } (x) = \frac{2}{5} \cdot ( x - 3 )^2 + 9
  1. f_{ 9 } (x) = ( x - 4 )^3 + 4
  2. f_{ 10 } (x) = \frac{7}{8} \cdot ( x - 5 )^3 + 4
  3. f_{ 11 } (x) = -\frac{2}{9} \cdot ( x + 5 )^3 + 9
  4. f_{ 12 } (x) = \frac{3}{5} \cdot ( x - 10 )^3 + 4
  1. f_{ 13 } (x) = \sqrt{ x - 10 } - 4
  2. f_{ 14 } (x) = -\frac{5}{4} \cdot \sqrt{ x + 5 } - 7
  3. f_{ 15 } (x) = -2 \cdot \sqrt{ x - 1 } + 1
  4. f_{ 16 } (x) = \frac{4}{5} \cdot \sqrt{ x + 9 } + 3
  1. f_{ 17 } (x) = \sqrt[3]{ x - 10 } - 5
  2. f_{ 18 } (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{ x - 5 } - 8
  3. f_{ 19 } (x) = -\frac{2}{9} \cdot \sqrt[3]{ x - 6 } + 7
  4. f_{ 20 } (x) = \frac{8}{5} \cdot \sqrt[3]{ x + 10 } - 9
  1. f_{ 21 } (x) = \frac{1}{ x - 8 } - 4
  2. f_{ 22 } (x) = -\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{ x + 2 } + 1
  3. f_{ 23 } (x) = -1 \cdot \frac{1}{ x + 8 } - 6
  4. f_{ 24 } (x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ x - 8 } + 9
  1. f_{ 25 } (x) = \ln( x - 7 ) - 6
  2. f_{ 26 } (x) = -\frac{7}{3} \cdot \ln( x + 4 ) + 2
  3. f_{ 27 } (x) = 2 \cdot \ln( x + 6 ) + 10
  4. f_{ 28 } (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln( x - 2 ) + 7
  1. f_{ 29 } (x) = \textit{\Large e}^{ x + 1 } + 2
  2. f_{ 30 } (x) = \frac{7}{9} \cdot \textit{\Large e}^{ x - 9 } - 1
  3. f_{ 31 } (x) = \frac{3}{2} \cdot \textit{\Large e}^{ x + 7 } + 9
  4. f_{ 32 } (x) = -\frac{5}{2} \cdot \textit{\Large e}^{ x + 5 } - 5
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Diferenciales

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

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Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función y=f(x) diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor x en el dominio de ella, y x+h un valor incrementado de x, definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

\Delta_x = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de f(x) y f(x+h); definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

\Delta_y = f(x+h) - f(x)

Es decir, la diferencia en y mide cuanto varía la función cuando la variable x varía con medida igual a la diferencia en x.

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula «\Delta» pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia \Delta_x, el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función f(x):

\frac{\Delta_y}{\Delta_x}

Debemos recordar que la derivada de la función f(x) está definida de la siguiente forma:

f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}

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Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función y=f(x) en el punto \left( x, f(x) \right), llamémosla t(x). Si consideramos un valor x, y x+h un valor incrementado de x, definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

dx = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de t(x) y t(x+h); definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

dy = t(x+h) - t(x)

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x, es la derivada de la función f(x):

\frac{dy}{dx} = f'(x)

De esta igualdad, podemos despejar dy y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función y=f(x):

dy = f'(x) \cdot dx

Es decir, el diferencial de y mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable x presenta un incremento con medida igual al diferencial de x.

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Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en x y el diferencial de x son exactamente el mismo elemento, es decir, \Delta_x = dx; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre \Delta_y y dy.

Hemos dicho que el cociente \frac{\Delta_y}{\Delta_x} se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real \alpha que depende de \Delta_x que nos permite establecer la siguiente relación:

\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por \Delta_x, despejamos \Delta_y obteniendo que

\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por f'(x) \cdot dx, que es justamente dy, nos damos cuenta que \alpha \cdot dx que representa el excedente sobre dy. Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x).

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que \Delta_y = dy + \alpha \cdot dx, a medida que se hace pequeño el diferencial dx también lo hará \alpha, y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto \alpha \cdot dx. Por lo tanto,

Si dx \to 0, entonces \Delta_y \to dy

Concluimos entonces, que el diferencial de y es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de y, es decir,

\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx

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Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función y=f(x), el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

dy ó df

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función y = x^2, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 2x \ dx

Ejemplo 2

Considerando la función y = 6x^{10} + 13x + 20, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = (60x^9 + 13) \ dx

Ejemplo 3

Considerando la función y = \textit{\Large e}^{3x^5}, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx

Ejemplo 4

Considerando la función y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10), para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx


Simetría de Funciones

Al estudiar la gráfica de funciones podemos notar que en algunos casos, podemos partirlas en dos partes que tienen el mismo comportamiento, es decir, funciones que presentan simetrías. Estas simetrías se pueden describir analíticamente como propiedades al definir las reglas que definen las funciones.

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Funciones Pares

Si consideramos la gráfica de la Función Cuadrática, f(x)=x^2, podemos notar que la forma que ella tiene del lado derecho del Eje Y es un reflejo de la forma que ella tiene del lado izquierdo, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al Eje Y. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones pares.

Formalmente, diremos que una función f(x) es una Función Par si para todo x en el dominio de la función, se cumple que

f(-x) = f(x)

Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos la función f(x) = |x|, esta sí es una función par, pues considerando que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos, es decir, |a \cdot b| = |a| \cdot |b|, entonces

f(-x) = \left| -x \right| = \left| (-1) \cdot x \right| = \left| -1 \right| \cdot \left| x \right| = |x|

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com

Ejemplo 2

Consideremos la función f(x) = x^2, esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que

f(-x) = (-x)^2 = (-x) \cdot (-x) = x^2

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com
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Ejemplo 3

Consideremos la función f(x) = -\frac{x^4}{10} + 5, esta sí es una función par pues

f(-x) = -\frac{(-x)^4}{10} + 5 = -\frac{x^4}{10} + 5

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com

Ejemplo 4

Consideremos la función f(x) = 3x + 2, esta no es una función par, pues,

f(-x) = 3(-x) + 2 = -3x+2

Así, podemos concluir que f(-x) \neq f(x). Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función no par | totumat.com

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Funciones Impares

Si consideramos la gráfica de la Función Cúbica, f(x)=x^3, podemos notar que la forma que ella tiene en el primer cuadrante es un reflejo de la forma que ella tiene en el tercer cuadrante, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al origen. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones impares.

Formalmente, diremos que una función f(x) es una Función Impar si para todo x en el dominio de la función, se cumple que

f(-x) = -f(x)

Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos la función f(x) = \frac{x}{2}, esta sí es una función impar, pues

f(-x) = \frac{-x}{2} = - \frac{x}{2}

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com

Ejemplo 6

Consideremos la función f(x) = \frac{1}{x}, esta sí es una función impar, pues

f(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x}

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com
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Ejemplo 7

Consideremos la función f(x) = x^3, esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que

f(-x) = (-x)^3 = (-x) \cdot (-x) \cdot (-x) = -x^3

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com

Ejemplo 8

Consideremos la función f(x) = -\frac{x^4}{10} + 5, esta no es una función par pues

f(-x) = -\frac{(-x)^4}{10} + 5 = -\frac{x^4}{10} + 5

Así, podemos concluir que f(-x) \neq -f(x). Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función no impar | totumat.com

Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Diagramas Sagitales: Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Habiendo definido las funciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos clasificar las funciones considerando la forma en que las correspondencias entre elementos están dadas, estas clasificaciones cumplen un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.

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Tipos de funciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, sabemos que una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, pero además, podemos clasificarlas de la siguiente forma:

Función Inyectiva: Diremos que una función es inyectiva si los elementos del rango están correspondidos con sólo un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que a los elementos del conjunto de llegada no se les corresponde más de un elemento del dominio.

Función Sobreyectiva: Diremos que una función es sobreyectiva si los elementos conjunto de llegada están correspondidos con al menos un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.

Función Biyectiva: Diremos que una función es biyectiva si es inyectiva y es sobreyectiva al mismo tiempo.

También podemos decir que corresponde a todo elemento b que está en B con un único elemento a que está en A.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado y azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Esta sí es una función inyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues no se le ha correspondido el mismo gorro a más de un niño.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues todos los gorros han sido correspondidos con un niño.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi y iPhone. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene Cámara HD, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Esta no es una función inyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues existen dos marcas con la misma característica.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues todas las características han sido adoptadas por al menos una marca.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues es no es inyectiva.


Los tipos de funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que:

  • Si la función inyectiva, a los elementos de B llega a lo sumo una línea.
  • Si la función es sobreyectiva, a todos los elementos de B llega al menos una línea.
  • Si la función es biyectiva, a todos y cada uno de los elementos de B llega exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta sí es una función biyectiva, porque a cada elemento de B llega exactamente una línea.

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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función sobreyectiva | totumat.com

Esta no es una función inyectiva, porque llegan dos líneas al color amarillo.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta no es una función biyectiva, porque no es inyectiva.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 2, 3, 5. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 5.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (2, 2) ; (3, 3) ; (5, 5) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta no es una función sobreyectiva, porque el número 1 en el conjunto B no está correspondido con ningún elemento de A.

Esta sí es una función biyectiva, porque no es sobreyectiva.


Diagramas Sagitales Funciones

Diagramas Sagitales: Funciones

Habiendo definido las relaciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos considerar un grupo de relaciones muy particular que cumple un papel fundamental en el estudio de las matemáticas, particularmente cuando estamos estudiando conjuntos numéricos.

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Funciones como Relaciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, generalmente se identifica con la letra f y se denota de la siguiente forma

f : A \rightarrow B.

Identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento a del conjunto A con un elemento b del conjunto B con el par ordenado (a,b) (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).

Al conjunto A se le conoce como el conjunto de salida y al conjunto B se le conoce como el conjunto de llegada.

Dominio y Rango de una Función

Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:

  • Al conjunto A se le conoce como el conjunto de salida
  • Al conjunto B se le conoce como el conjunto de llegada.
  • Al conjunto de elementos de A correspondido con elementos de B se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes. Notemos que de la forma en que están definidas las funciones, el dominio será igual al conjunto de salida.
  • Si un elemento de a de A está correspondido con un elemento de b de B, diremos que a es una preimagen de b.
  • Al conjunto de elementos de B correspondido con elementos de A se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
  • Si un elemento de b de B está correspondido con un elemento de a de A, diremos que b es una imagen de a.
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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues a cada niño se le corresponde un sólo gorro, así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Ana, José, Roberto}.
  • El rango es {Verde, Morado, Azul}.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.

Esta relación no es una función entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues la marca Pixel está correspondida con dos características, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Pixel, Conectividad 5G) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Pero tomando en cuenta que esta relación no es una función.

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
  • El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.

Las relaciones que son funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que si la relación es una función, entonces de todos y cada de los elementos del conjunto A debe salir exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de niños y el conjunto actividades pues a cada niño se le ha correspondido una sola actividad, así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto A sale sólo una línea, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
  • El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.

Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues cada automóvil se ha pintado de un único color, así, podemos expresar la relación f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto A sale sólo una línea, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.
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Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.

Esta relación no es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues al automóvil número 2 se le han correspondido dos colores distintos, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (2, Azul) ; (3, Rojo) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que del automóvil número 2 salen dos líneas, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 6

Considere el conjunto A conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 4.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta.

Esta relación no es una función entre el conjunto A y el conjunto B por varias razones: al número 1 se le han correspondido cuatro números distintos, al número 2 se le han correspondido dos números distintos y al número 5 no se le ha correspondido con ningún número, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,4) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que del número 1 salen cuatro líneas, del número 2 salen dos líneas y del número 5 no sale ninguna línea, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {1,2,3,4}.