Funciones Trigonométricas

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que $\pi$ es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

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Función Seno

Definimos el seno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = sen(x)$

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

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Función Coseno

Definimos el coseno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = cos(x)$

Note que esta función es igual a cero para los valores de $x$ tales que $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , además repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

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Función Tangente

Definimos la tangente del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario, que será también el cociente del seno de $\alpha$ entre el coseno de $\alpha$ . Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: Dom(f) \rightarrow [-1,1], \ f(x) = tan(x)$

Note que a medida que esta función se acerca a $-\frac{\pi}{2}$ esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje $x=-\frac{\pi}{2}$ , por otra parte a medida que se acerca a $\frac{\pi}{2}$ esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje $x=\frac{\pi}{2}$ . Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , donde $k$ es un número entero.