Ecuación Punto-Punto

La fórmula de la Ecuación Punto-Punto
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al considerar un punto adicional, a través de ambos puntos punto, sólo pasará una única recta. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable $y$ en relación a la variable $x$ .

Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en $y$ entre el incremento en $x$ y para esto usamos la siguiente fórmula:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ planteando la siguiente fórmula:

$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$
ó
$\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)$

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con dos puntos de ella.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (2,2)$ y $P_2 = (3,3)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{3 - 2}{3 - 2}$

$= \dfrac{1}{1}$

$= 1$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y - 2 = x - 2$

$\Rightarrow \ y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-4,1)$ y $P_2 = (3,-1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{-1 - 1}{3 - (-4)}$

$= \dfrac{-2}{7}$

$= -\dfrac{2}{7}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_2$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$

$\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 3)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7}$

$\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) - \frac{1}{7} \Rightarrow \ y = -\frac{1}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,-\frac{1}{7} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = -\frac{1}{7} \Rightarrow \ x = -\frac{1}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{1}{2} , 0 \right)$

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Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-2,-2)$ y $P_2 = (5,1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{5 - (-2)}{1 - (-2)}$

$= \dfrac{7}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}$

$\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,