Ecuación Punto-Punto

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable y en relación a la variable x. Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2) podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en y entre el incremento en x y para esto usamos la siguiente fórmula:

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Hemos visto que es posible graficar una recta conociendo dos puntos de ella, también será posible determinar la ecuación que la define a partir de dos puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2) planteando la siguiente ecuación:

\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}

A esta ecuación la llamamos ecuación punto-punto. A partir de esta ecuación y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) \
ó
\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación de una recta contando con dos puntos de ella.

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (2,2) y P_2 = (3,3).

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
=  \frac{3 - 2}{3 - 2}
= \frac{1}{1}
= 1

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)
\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)
\Rightarrow \ y - 2 = x - 2
\Rightarrow \ y = x

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y=x, que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-4,1) y P_2 = (3,-1).

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{-1 - 1}{3 - (-4)}
= \frac{-2}{7}
= -\frac{2}{7}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_2

(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)
\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 5)
\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{10}{7}
\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x + \frac{3}{7}

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = -\frac{2}{7}x + \frac{3}{7} y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) + \frac{3}{7} \Rightarrow \ y = \frac{3}{7}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0,\frac{3}{7} \right)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x + \frac{3}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = \frac{3}{7} \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{3}{2} , 0 \right)

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-2,-2) y P_2 = (5,1).

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{5 - (-2)}{1 - (-2)}
= \frac{7}{3}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)
\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))
\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)
\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}
\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = \frac{7}{3} (0) + \frac{8}{3} \Rightarrow \ y = \frac{8}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0,\frac{8}{3} \right)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} \Rightarrow \ -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3} \Rightarrow \ x = -\frac{8}{7}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( -\frac{8}{7} , 0 \right)

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