Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?
Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al considerar un punto adicional, a través de ambos puntos punto, sólo pasará una única recta. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.
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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto
Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable en relación a la variable
.
Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos y
podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en
entre el incremento en
y para esto usamos la siguiente fórmula:
Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos y
planteando la siguiente fórmula:
A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:
ó
Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con dos puntos de ella.
Ejemplos
Ejemplo 1
Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos y
.
Empezamos calculando el valor de la pendiente,
Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto
Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2
Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos y
.
Empezamos calculando el valor de la pendiente,
Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto
Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,
Es decir, el punto de corte con el Eje Y es
Es decir, el punto de corte con el Eje X es

Ejemplo 3
Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos y
.
Empezamos calculando el valor de la pendiente,
Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto
Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,
Es decir, el punto de corte con el Eje Y es
Es decir, el punto de corte con el Eje X es

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