Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Al considerar dos rectas $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ podemos establecer dos tipos de interacciones entre ellas, recordando que las rectas en realidad definen conjuntos en el plano cartesiano, consideremos los dos casos posibles:

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Rectas Paralelas

Diremos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es el conjunto vacío. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir, $m_1 = m_2$ . Gráficamente, tenemos que:

Rectas que se cortan

Por otra parte, diremos que dos rectas se intersectan (en algunos textos se dice intersecan, sin embargo, al hablar de las rectas como de conjuntos usaremos la palabra intersectan) si tienen exactamente un elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es un solo punto. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas se intersectan si sus pendientes son diferentes, es decir, $m_1 \neq m_2$ . Gráficamente, tenemos que:

Rectas Perpendiculares

Más aún, diremos que dos rectas que se intersectan son perpendiculares si éstas forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a $-1$ , es decir, $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Gráficamente, tenemos que:

Considerando este tipo de interacciones, veamos algunos ejemplos en los que la información de una recta puede ser usada para calcular la ecuación de otra sabiendo como se relacionan estas dos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (1,4)$ y es paralela al la recta $l_2 : y = -2x -2$

Al observar la ecuación de la recta $l_1$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = -2$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas paralelas, la pendiente $m_1 = m_2 = -2$ .

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,4)$ y tiene pendiente $m_1 = -2$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - 4) = -2 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 4 = -2x - 1$
$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -2(0) + 3 \Rightarrow \ y = 3$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,3)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -2x + 3 \Rightarrow \ 2x = 3 \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{3}{2},0 \right)$

Rectas paralelas y rectas que se cortan | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (2,-3)$ y es perpendicular a la recta $l_2 : y = 3x + 1$

Al observar la ecuación de la recta $l_2$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = 3$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas perpendiculares, tenemos que el producto de las pendientes $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Sabiendo esto, despejamos la pendiente que estamos buscando:

$m_1 \cdot 3 = -1 \Rightarrow \ m_1 = -\frac{1}{3}$

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-3)$ y tiene pendiente $m_1 = 3$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - (-3)) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$
$\Rightarrow \ y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
$\Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}(0) - \frac{7}{3} \Rightarrow \ y = - \frac{7}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0 , - \frac{7}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} \Rightarrow \ \frac{1}{3}x = - \frac{7}{3} \Rightarrow \ x = - 7$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -7 , 0 \right)$

Un comentario en “Rectas paralelas y rectas perpendiculares”

[…] dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la […]

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