Rectas paralelas, rectas secantes y rectas perpendiculares

Al considerar dos rectas $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ podemos establecer dos tipos de interacciones entre ellas, recordando que las rectas en realidad definen conjuntos en el plano cartesiano, consideremos los dos casos posibles.

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Rectas Paralelas

En términos de conjuntos, diremos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es el conjunto vacío.

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir,

$m_1 = m_2$ .

Gráficamente, diremos que dos rectas son paralelas si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas paralelas | totumat.com — dos rectas que nunca se encuentran

Rectas que se cortan (secantes)

En términos de conjuntos, diremos que dos rectas se intersectan o son secantes si tienen exactamente un elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es un solo punto (en algunos textos se dice intersecan, sin embargo, al hablar de las rectas como de conjuntos usaremos la palabra intersectan).

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que se intersectan si sus pendientes son diferentes, es decir,

$m_1 \neq m_2$

Gráficamente, diremos que dos rectas se intersectan en un solo punto si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas que se cortan en un solo punto | totumat.com

Rectas Perpendiculares

Más aún, diremos que si dos rectas que se intersectan, estas son perpendiculares si forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a $-1$ , es decir,

$m_1 \cdot m_2 = -1$

Gráficamente, diremos que dos rectas que se intersectan en un solo punto, son perpendiculares, si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas perpendiculares | totumat.com

Considerando este tipo de interacciones, veamos algunos ejemplos en los que la información de una recta puede ser usada para calcular la ecuación de otra sabiendo cómo se relacionan estas dos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (1,4)$ y es paralela al la recta $l_2 : y = -2x -2$

Al observar la ecuación de la recta $l_1$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = -2$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas paralelas, la pendiente $m_1 = m_2 = -2$ .

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,4)$ y tiene pendiente $m_1 = -2$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - 4) = -2 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 4 = -2x - 1$
$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -2(0) + 3 \Rightarrow \ y = 3$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,3)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -2x + 3 \Rightarrow \ 2x = 3 \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{3}{2},0 \right)$

Rectas paralelas y rectas que se cortan | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (2,-3)$ y es perpendicular a la recta $l_2 : y = 3x + 1$

Al observar la ecuación de la recta $l_2$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = 3$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas perpendiculares, tenemos que el producto de las pendientes $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Sabiendo esto, despejamos la pendiente que estamos buscando:

$m_1 \cdot 3 = -1 \Rightarrow \ m_1 = -\frac{1}{3}$

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-3)$ y tiene pendiente $m_1 = 3$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - (-3)) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$
$\Rightarrow \ y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
$\Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}(0) - \frac{7}{3} \Rightarrow \ y = - \frac{7}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0 , - \frac{7}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} \Rightarrow \ \frac{1}{3}x = - \frac{7}{3} \Rightarrow \ x = - 7$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -7 , 0 \right)$

Un comentario en “Rectas paralelas, rectas secantes y rectas perpendiculares”

El Punto de Intersección entre dos rectas – totumat dice:

08.12.2020 a las 7:49 pm

[…] dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la […]

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