Ecuación Punto-Pendiente

Al graficar una recta, basta contar con saber por qué punto pasa y saber cual es su ángulo de inclinación. Es posible hacer esta analogía cuando queremos determinar la ecuación que la define, entonces si una recta pasa por un punto $(x_0, y_0)$ y su pendiente es m, podemos determinar la ecuación que la define planteando la siguiente ecuación:

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

A partir de esta igualdad, podemos determinar la ecuación pendiente ordenada simplemente despejando y. Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación de una recta contando con estos dos elementos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,1)$ y tiene pendiente $m=1$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow (y - 1) = 1 \cdot (x - 1)$

$\Rightarrow y - 1 = x - 1$

$\Rightarrow y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(5,2)$ y tiene pendiente $m=3$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 3 \cdot (x - 5)$

$\Rightarrow \ y - 2 = 3x - 15$

$\Rightarrow \ y = 3x - 13$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 3x - 13$ y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma $(x,0)$ y $(0,y)$ . Entonces,

$x= 0 \Rightarrow y = 3(0) - 13 \Rightarrow y = - 13$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,-13)$

$y= 0 \Rightarrow 0 = 3x - 13 \Rightarrow -3x = - 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{13}{3},0 \right)$

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Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-1)$ y tiene pendiente $m=-2$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow \ (y - (-1)) = -2 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -2x + 4$

$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.