La Diferencia de Cuadrados

Al efectuar operaciones matemáticas es común toparse con restas entre dos números, sin embargo, al encontrar la resta de los cuadrados de dos números diremos que esta es una diferencia de cuadrados y es de nuestro particular interés porque a través de la propiedad distributiva, podemos expresarla como el producto de dos factores.

Formalmente, si $a$ y $b$ son dos números reales, entonces la diferencia de sus cuadrados será igual a la suma del primero más el segundo, multiplicado por la resta del primero por el segundo, es decir,

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para factorizar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Factorice la expresión $5^2 - 3^2$ . Notamos que en este caso, podemos simplemente aplicar la potencia cada uno de los sumandos y efectuar la resta directamente.

$5^2 - 3^2 \ =\ 25 - 9$

$\ =\ 16$

Ejemplo 2

Factorice la expresión $x^2 - 9$ . Notamos que en este caso, uno de los sumandos es equis al cuadrado y el otro es nueve, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que nueve es igual a tres al cuadrado.

$x^2 - 9 \ =\ x^2 - 3^2$

$\ =\ (x-3)(x+3)$

Ejemplo 3

Factorice la expresión $x^2 - 2$ . Notamos que en este caso, uno de los sumandos es equis al cuadrado y el otro es dos, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que dos se puede reescribir como $2 = \left( \sqrt{2} \right)^2$ .

$x^2 - 2 \ =\ x^2 -\left( \sqrt{2} \right)^2$

$\ =\ \left(x-\sqrt{2}\right) \left(x+\sqrt{2}\right)$

De esta forma, podemos notar que si la raíz cuadrada de un numero no es exacta, este se puede reescribir para poder usar la diferencia de cuadrados.

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Ejemplo 4

Factorice la expresión $8 - x^6$ . Notamos que en este caso, uno de los sumandos es 8 y el otro es equis a la seis, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que ocho se puede reescribir como $8 = \left( \sqrt{8} \right)^2$ y equis a la seis como $x^6 = \left( x^3 \right)^2$ .

$8 - x^6 \ =\ \left( \sqrt{8} \right)^2 - \left(x^3 \right)^2$

$\ =\ \left(\sqrt{8}-x^3\right) \left(\sqrt{8}+x^3\right)$

Ejemplo 5

Factorice la expresión $36x^4 - 5x^8$ . Notamos que en este caso, no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados usando las observaciones expuestas en los ejemplos anteriores.

$36x^4 - 5x^8 \ =\ \left( 6x^2 \right)^2 - \left( \sqrt{5}x^4 \right)^2$

$\ =\ \left(6x^2-\sqrt{5}x^4\right) \left(6x^2+\sqrt{5}x^4\right)$

Un comentario en “La Diferencia de Cuadrados”

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