Resta de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la resta A-B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento ij de la matriz A menos el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz B, cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por -1. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 2 \times2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 4 calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 3 \times 1 calcule la suma indicada.


Operaciones entre matrices

Sobre el conjunto de las matrices podemos definir operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación entre dos matrices. Además, definiremos una operación que se aplica sobre una sola matriz que llamaremos transposición.

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Suma de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la suma A+B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento ij de la matriz A más el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño 2 \times 2, calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño 4 \times 3, calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.


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Resta de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la resta A-B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento ij de la matriz A menos el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz B, cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por -1. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 2 \times2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 4 calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 3 \times 1 calcule la suma indicada.


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Multiplicación por un escalar

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar k por una matriz A, como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar k por el elemento ij de la matriz A. Formalmente,

[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 calcule el producto por el escalar 4.

Ejemplo 10

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 1 calcule el producto por el escalar -4.

Ejemplo 11

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 calcule el producto por el escalar 7.

Ejemplo 12

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3 calcule el producto por el escalar 9.


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Producto entre Matrices

Sean A una matriz de tamaño m \times n y B una matriz de tamaño n \times p, definimos el producto A \times B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido el “producto” de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Formalmente,

[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz A debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz B y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 2. Calcule el producto $A \times B$. Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento [A \times B]_{11} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{12} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 2.

El elemento [A \times B]_{21} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{22} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 2.

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 1. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 15

Considerando la matriz A, de tamaño, 1 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 2. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 16

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 4. Calcule el producto A \times B.

Nota: Si podemos multiplicar A \times B, no necesariamente podemos multiplicar B \times A, esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.


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Transposición de matrices

En ocasiones, es necesario cambiar las filas por columnas de una matriz y viceversa, para esto definimos la operación de transposición. Sea A una matriz de tamaño m \times n decimos que la transposición de la matriz A es una nueva matriz de tamaño n \times m donde los elementos de la matriz A que están en la posición ij pasan a estar en la posición ji, a esta nueva matriz se le llama A traspuesta (o traspuesta) y la denotamos por A^{T} o A'. Formalmente,

[A^{T}]_{ij} = A_{ji}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplos 17

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplos 18

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 1. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplo 19

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplo 20

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 4. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.


Operaciones entre Números Enteros

¿Sumar y restar? ¿Es lo mismo?

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

7 +10 = 17

Ejemplo 2

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60


El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 5

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32


Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros?


Números Enteros

¿Está definida la resta de dos números naturales?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Qué se obtiene?

Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por 0 y nos representará ninguna cantidad.

El número cero nos da pie para definir una nueva gama de números: Si a es un número natural entonces -a será su opuesto aditivo y tendrá la siguiente propiedad:

Opuesto Aditivo | totumat.com

Note que de esta forma forma a será el opuesto aditivo de -a. Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales a y b, entonces al sumar a con el opuesto aditivo de b, la operación a+(-b) se conoce como resta y la escribimos de la siguiente forma:

a menos b | totumat.com

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número 0 y el opuesto aditivo de cada uno de los números naturales. Lo denotaremos por \mathbb{Z} y lo expresamos extensivamente así:

El conjunto de los números enteros | totumat.com

Gráficamente, podemos disponer los números enteros en una recta de la siguiente manera:

El conjunto de los números enteros | totumat.com
Representación gráfica de los números enteros

Finalmente, es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

Los naturales están contenidos en los enteros. | totumat.com