Operaciones entre polinomios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

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Suma de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de x como factor, de forma que si consideramos dos polinomios P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0 y Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0, donde el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), es decir, m \geq n; definimos la suma P(x)+Q(x) de la siguiente forma:

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De igual forma, definimos la resta P(x)-Q(x) de la siguiente forma:

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Notando que si el grado de P(x) es estrictamente mayor que el grado de Q(x), entonces completamos el polinomio Q(x) con coeficientes ceros, es decir, b_i = 0 para todo i > n.

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios P(x) = 3x^2 - 5x + 2 y Q(x) = 7x + 1, calcule la suma P(x) + Q(x).

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Por lo tanto, P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3.

Ejemplo 2

Considerando los polinomios P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12 y Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3, calcule la suma P(x) + Q(x).

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Por lo tanto, P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15.

Ejemplo 3

Considerando los polinomios P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4 y Q(x) = 2x + 3, calcule la resta P(x) - Q(x).

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Por lo tanto, P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7.

Ejemplo 4

Considerando los polinomios P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5 y Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x, calcule la resta P(x) - Q(x).

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Por lo tanto, P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5.


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Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0 y Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0, podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

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Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios P(x) = 4 x + 3 y Q(x) = - 10 x - 4. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

- 40 x^{2} - 46 x - 12

Ejemplo 6

Considerando los polinomios P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2 y Q(x) = x^{2} + 5 x + 6. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12

Ejemplo 7

Considerando los polinomios P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6 y Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42

Ejemplo 9

Considerando los polinomios P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 y Q(x) = 9 x^{2} - x + 4. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8


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División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando p y q dos números enteros, al dividir p entre q, buscamos un número tal que al multiplicarlo por q el resultado sea exactamente p, es decir, un número entero c tal que

p = c \cdot q

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por q, el resultado sea mayor de los enteros menores que p, es decir, un número entero c tal que

p = c \cdot q + r

Donde 0 < r < a. Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número r lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como r = p - c \cdot q. Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, r=0. Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos 8 entre 4, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 4 el resultado sea o que está cerca de 8, particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 4 = 8 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 8 - 8 = 0, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que 8 = 2 \cdot 4 + 0. En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos 13 entre 5, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 5 el resultado sea o que está cerca de 13, particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 5 = 10 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 13 - 10 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que 13 = 2 \cdot 5 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos 21 entre 4, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 4 el resultado sea o que está cerca de 21, particularmente el número que estamos buscando es 5 pues 5 \cdot 4 = 20 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 21 - 20 = 1, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que 21 = 5 \cdot 4 + 1. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos 21 entre 7, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 7 el resultado sea o que está cerca de 21, particularmente el número que estamos buscando es 3 pues 3 \cdot 7 = 21 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 21 - 21 = 1, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que 21 = 3 \cdot 4 + 0. En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.


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El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos P(x) y Q(x) dos polinomios tales que el grado de Q(x) es menor o igual que el grado de P(x), al dividir P(x) entre Q(x), buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) el resultado sea exactamente P(x), es decir, un polinomio C(x) tal que

P(x) = C(x) \cdot Q(x)

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) el polinomio resultante tenga el mismo grado que P(x) y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de Q(x), es decir, un polinomio C(x) tal que

P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)

Donde gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right). Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, R(x) = 0. Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio P(x) = x^2 + x + 3 entre el polinomio Q(x) = x + 1, entonces los escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio Q(x) = x + 1 el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio P(x) = x^2 + x + 3, en este caso el polinomio que estamos buscando es x y lo escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será multiplicar el polinomio Q(x) = x + 1 por x y el resultado se lo restamos al polinomio P(x) = x^2 + x + 3 de la siguiente forma

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Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio Q(x), Por lo tanto, concluimos que

x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2 entre el polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1, entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1 el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2, en este caso el polinomio que estamos buscando es 4x y lo escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será multiplicar el polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1 por x y el resultado se lo restamos al polinomio P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2 de la siguiente forma

División de Polinomios | totumat.com

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio Q(x), por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1 el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio -10x^2 + 4x.

En este caso el polinomio que estamos buscando es -5 y lo multiplicamos por el polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1; el resultado se lo restamos al polinomio -10x^2 + 4x de la siguiente forma

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Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio Q(x), Por lo tanto, concluimos que

8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7


Un comentario en “Operaciones entre polinomios

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