Expresiones Racionales

Habiendo estudiado las operaciones entre polinomios, particularmente la división de polinomios, podemos ampliar las operaciones entre fracciones como una herramienta para simplificar las operaciones entre polinomios antes de efectuarlas.

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Definimos una expresión racional como el cociente entre dos polinomios. Formalmente, si P(x) y Q(x) son dos polinomios con Q(x) \neq 0, entonces el siguiente cociente será una expresión racional:

\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Diremos que P(x) es el numerador (o dividendo) de la expresión y Q(x) es el denominador (o divisor) de la expresión. En este caso, al ser, P(x) y Q(x) polinomios, este tipo de expresiones racionales serán expresiones algebraicas racionales.

Operaciones entre Expresiones Racionales

Las operaciones entre expresiones racionales se efectúan de la misma forma en que se efectúan las operaciones entre fracciones, es decir, si A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios, con B(x) y D(x) distintos de cero, definimos:

Suma de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} + \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x) + B(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Resta de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} - \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x) - B(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Multiplicación de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} \cdot \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

División de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} \div \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x)}{B(x) \cdot C(x)}

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El objetivo de plantear expresiones racionales es el de simplificar expresiones que a primera vista parezcan complicadas o engorrosas para trabajar. Veamos en los siguientes ejemplos como efectuar operaciones entre expresiones racionales y de ser posible, su simplificación.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de las expresiones racionales \frac{2x+5}{2x+3} y \frac{6x+4}{8x+3}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{2x+5}{2x+3} + \dfrac{6x+4}{8x+3}

= \dfrac{(2x+5) \cdot (8x+3) + (2x+3) \cdot (6x+4)}{(2x+3) \cdot (8x+3)}

= \dfrac{ 16x^2 + 6x + 40x + 15 + 12x^2 + 8x + 18x + 12 }{(2x+3) \cdot (8x+3)}

= \dfrac{ 28x^2 + 72x + 27 }{(2x+3) \cdot (8x+3)}

Notemos que en el numerador se efectuó la propiedad distributiva en ambos sumandos para poder sumar los elementos comunes, sin embargo, en el denominador no hizo falta aplicar la propiedad distributiva, pues ya la expresión estaba factorizada.

Ejemplo 2

Efectúe la resta de las expresiones racionales \frac{7x-2}{3x+1} menos \frac{5x+2}{2x+4}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{7x-2}{3x+1} - \dfrac{5x+2}{2x+4}

= \dfrac{(7x-2) \cdot (2x+4) + (3x+1) \cdot (5x+2)}{(3x+1) \cdot (2x+4)}

= \dfrac{ 14x^2 + 28x - 4x - 8 - (15x^2 + 6x + 5x + 2) }{(3x+1) \cdot 2 (x+2)}

= \dfrac{ -x^2 + 13x - 10 }{2(3x+1) \cdot (x+2)}

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Ejemplo 3

Efectúe el producto de las expresiones racionales \frac{4x^2+6}{-7x+2} y \frac{4x-3}{2x^2+3}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{4x^2+6}{-7x+2} \cdot \dfrac{4x-3}{2x^2+3}

= \dfrac{(4x^2+6) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= \dfrac{2 (2x^2+3) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{(2x^2+3) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{ (4x-3) \cdot (2x^2+3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{(4x-3)}{(-7x+2)}

¿Tienes dudas? ¿Necesitas más ejemplos? No dudes en escribir.

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