La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

La jerarquía de las operaciones

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

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Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

La jerarquía de las operaciones | totumat.com

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( $+$ ). La resta será expresada con una raya horizontal ( $-$ ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( $\cdot$ ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( $\times$ ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( $\div$ ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( $:$ ) o con una barra vertical ( $/$ ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 \cdot 2 + 5$

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$6 + 5$

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

$11$

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 + 2 \cdot 5$

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$3 + 10$

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

$13$

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$4 + 3 \cdot 6 - 7$

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$4 + 18 - 7$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$22 - 7$

Finalmente, efectuamos la resta

$15$

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$-14 + 15 \div 3 + 20$

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

$-14 + 5 + 20$

Posteriormente, efectuamos las sumas,

$-14 + 25$

Finalmente, efectuamos la resta

$11$

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Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10$

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$20 - 10 - 30 \div 10$

Posteriormente, efectuamos la división,

$20 - 10 - 3$

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

$20 - 13$

Finalmente, efectuamos la resta

$7$

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9$

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

$12 + 35 - 55 \div 11 + 9$

Posteriormente, efectuamos la división,

$12 + 35 - 5 + 9$

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

$12 + 35 + 9 - 5$

Posteriormente, efectuamos las sumas

$56 - 5$

Finalmente, efectuamos la resta

$51$

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Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

$12 \div 2 \cdot 3$

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis $( \ )$ para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

$12 \div (2 \cdot 3)$

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto $2 \cdot 3$ , para obtener $12 \div 6$ que a su vez, es igual a $2$ . Por otra parte, si consideramos la operación

$(12 \div 2) \cdot 3$

Se está indicando que primero se debe efectuar la división $12 \div 2$ , para obtener $6 \cdot 3$ que a su vez, es igual a $18$ .

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes $[ \ ]$ y llaves ${ \ }$ , sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 \cdot (5 + 1)$

Lo primero que debemos notar es que la suma $5 + 1$ está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$3 \cdot 6$

Finalmente, efectuamos el producto,

$18$

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$2 \cdot (9 - 2) + 10$

Lo primero que debemos notar es que la resta $9 - 4$ está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$2 \cdot 7 + 10$

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$14 + 10$

Finalmente, efectuamos la suma,

$24$

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]$

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

$3 + 4 \cdot [3 + 5]$

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

$3 + 4 \cdot 8$

Posteriormente, efectuamos el producto,

$3 + 32$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$35$

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]$

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

$100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

$100 - 2 \cdot [ -43 ]$

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

$100 + 86$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$186$

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Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 25 \div (3+2) - 2] \}$

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 25 \div 5 - 5] \}$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}$

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}$

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

$5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}$

Posteriormente, efectuamos la resta,

$5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}$

Posteriormente, efectuamos la división,

$5 - \{ 20 + 5 \}$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$5 - \{ 20 + 5 \}$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$5 - \{ 25 \}$

Finalmente, efectuamos la resta,

$-20$

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]$

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

$72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

$72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la división,

$72 - 5$

Finalmente, efectuamos la resta,

$-67$

11 comentarios en “La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación”

Marco dice:

21.10.2022 a las 12:38 pm

Buenos días, son dos, la primer duda es ¿por qué una operación no da el mismo resultado en una calculadora común y una científica? ejemplo 4+4*4+4 da 24 en la científica y 36 en la estándar y la segunda si en lugar de darla horizontal la pongo así
4
+
4
*
4
+
4
¿cual sería el resultado? (puntualizando, alguien dice «cual es el resultado de cuatro mas cuatro, por cuatro, más cuatro» las comas son la pausa que uno hace al hablar y tomando en cuenta que es aritmética básica)

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Responder
- Anthonny Arias dice:
  
  21.10.2022 a las 10:16 pm
  
  Saludos, Marco.
  
  El resultado de la operación 4+4*4+4 es 24. Eso es lo correcto.
  
  1.- Respecto a las calculadoras:
  
  En una calculadora científica, normalmente escribimos la operación «4+4*4+4», esta expresión es interpretada por la calculadora usando la jerarquía de las operaciones y finalmente da el resultado, que es 24.
  
  En una calculadora estándar (una calculadora bodeguera), siempre una nueva operación será aplicada al resultado anterior, es por eso que cada vez que presionamos la tecla para una nueva operación, en la pantalla aparecerá el resultado de la operación anterior. Entonces, ocurre lo siguiente: Presionamos 4, presionamos la tecla «+» (nos sigue mostrando el mismo 4), presionamos 4 (sigue mostrando el mismo 4), presionamos la tecla «*» (en ese momento aparecerá 8 en la pantalla, pues es el resultado de la operación anterior), presionamos 4 (sigue mostrando el 8), presionamos la tecla «+» (en ese momento aparecerá 32, pues es el resultado de la operación anterior), presionamos 4 (sigue mostrando el 32) y finalmente, presionamos la tecla «=» para que aparezca el resultado final que es 36.
  
  2.- Respecto a esa expresión vertical, no entiendo porqué alguien lo escribiría de esa forma.
  
  3.- “¿cuál es el resultado de cuatro mas cuatro, por cuatro, más cuatro?” La respuesta es cuatro más cuatro es igual a ocho, este resultado multiplicado por cuatro es igual a treinta y dos, este resultado sumándole cuatro es igual a treinta y seis.
  
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Witremundo Gutiérrez dice:

27.06.2022 a las 9:30 am

Por favor, Resuelves este: 6 ÷ 2(1+2) a mi me da 1 Ups, disculpe, equivocado en anterior comentario.

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Responder
- Anthonny Arias dice:
  
  29.06.2022 a las 5:39 am
  
  Saludos, Witremundo. Disculpe la demora en contestar, ya antes he escrito sobre este tipo de operaciones. Ya antes se ha viralizado en internet. Si se lo pusieron como tarea, la persona que le ha asignado, lo ha hecho con pura maldad o no sabe escribir un ejercicio de matemáticas.
  
  Aquí está el artículo que he escrito sobre el tema:
  
  https://totumat.com/2020/01/25/cual-es-el-resultado-de-8%c3%b7222/
  
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