Ejercicios Propuestos – Operaciones básicas entre números reales

Calcule el resultado de las siguientes expresiones matemáticas tomando en cuenta la jerarquía de las operaciones básicas y los signos de agrupación.

  1. 90 + 58 \cdot 13
  2. -54 + 3 \cdot 48
  3. 8 - 10 \cdot 12
  4. -25 - 78 \cdot 34

  1. ( 11 + 52) \cdot 13
  2. ( -72 + 19) \cdot 88
  3. ( 56 - 65) \cdot 39
  4. ( -51 - 33) \cdot 4

  1. 78 + ( 50 + 54) \cdot 72
  2. 5 + ( 73 - 84) \cdot 37
  3. 95 - ( 64 + 53) \cdot 39
  4. 87 - ( 64 - 27) \cdot 30

  1. 4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4
  2. 2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7
  3. 5^2 - ( 9 + 2) \cdot 4
  4. 4^3 - ( 9 - 10) \cdot 9

  1. 53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]
  2. 62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]
  3. 95 + [ 3^2 - ( 1 + 7) \cdot 6 ]
  4. 86 - [ 2^2 + ( 2 - 9) \cdot 9 ]

  1. 7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17
  2. 8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25
  3. 2 \cdot [ 4^2 - ( 3 - 8) \cdot 3 ] + 93
  4. 8 \cdot [ 4^2 - ( 1 - 2) \cdot 7 ] - 15

  1. (7^2 + 56 ) \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}
  2. (2^2 - 69 ) \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}
  3. (8^2 + 55 ) \cdot {8 - [ 10^2 + ( 9 - 9) \cdot 5 ] + 58}
  4. (2^2 - 99 ) \cdot {10 + [ 10^2 - ( 2 - 3) \cdot 1 ] + 81}

  1. \dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }
  2. \dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }
  3. \dfrac{ 53 - 93 \cdot 64 }{ 93 + 88 \cdot 92 }
  4. \dfrac{ 71 - 7 \cdot 77 }{ 43 - 62 \cdot 79 }

  1. 73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }
  2. 8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }
  3. 70 - 44 \cdot \dfrac{ 2 }{ 19 + 96 \cdot 38 }
  4. 35 - 86 \cdot \dfrac{ 62 }{ 68 - 40 \cdot 64 }

  1. \dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }
  2. \dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }
  3. \dfrac{ 76 - [ 5^2 - ( 4 + 7) \cdot 10 ] }{ 11 + [ 7^2 + ( 7 - 9) \cdot 2 ] }
  4. \dfrac{ 44 - [ 10^2 - ( 1 - 4) \cdot 8 ] }{ 49 - [ 5^3 - ( 1 - 1) \cdot 7 ] }

  1. 81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }
  2. 89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }
  3. 54 + 10^3 + \dfrac{ ( 3 - 4) \cdot 5 ] }{ 93 - [ 4^3 - ( 4 + 9) \cdot 9 ] }
  4. 52 + 4^3 + \dfrac{ ( 3 - 7) \cdot 10 ] }{ 70 - [ 5^2 - ( 7 + 8) \cdot 9 ] }

  1. \dfrac{ (4^3 - 68 ) \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 ) \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }
  2. \dfrac{ (10^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }
  3. \dfrac{ (7^3 - 38 ) \cdot {1 + [ 6^3 - ( 3 - 6) \cdot 6 ] + 93} }{ (9^3 - 61 ) \cdot {1 + [ 6^2 - ( 4 - 8) \cdot 2 ] + 17} }
  4. \dfrac{ (2^2 - 39 ) \cdot {1 + [ 3^2 - ( 3 - 1) \cdot 4 ] + 38} }{ (4^3 - 44 ) \cdot {10 + [ 6^3 - ( 10 - 2) \cdot 10 ] + 79} }

  1. (5^3 + 98 ) + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 ) \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }
  2. (3^2 + 42 ) - \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 ) \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }
  3. -(2^2 + 5 ) + \dfrac{ 4\cdot{8 + [ 4^3 + ( 6 + 10) \cdot 7 ] + 21} }{ (8^2 + 81 ) \cdot {7 + [ 2^3 + ( 4 + 3) \cdot 2 ] + 26} }
  4. -(6^3 + 63 ) - \dfrac{ 6\cdot{5 + [ 8^2 + ( 5 + 2) \cdot 6 ] + 37} }{ (10^2 + 5 ) \cdot {1 + [ 6^2 + ( 3 + 1) \cdot 7 ] + 51} }

La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

La jerarquía de las operaciones

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

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Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

La jerarquía de las operaciones | totumat.com

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( + ). La resta será expresada con una raya horizontal ( - ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( \cdot ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( \times ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( \div ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( : ) o con una barra vertical ( / ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot 2 + 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

6 + 5

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

11

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 2 \cdot 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

3 + 10

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

13

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 + 3 \cdot 6 - 7

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

4 + 18 - 7

Posteriormente, efectuamos la suma,

22 - 7

Finalmente, efectuamos la resta

15

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

-14 + 15 \div 3 + 20

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

-14 + 5 + 20

Posteriormente, efectuamos las sumas,

-14 + 25

Finalmente, efectuamos la resta

11

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Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

20 - 10 - 30 \div 10

Posteriormente, efectuamos la división,

20 - 10 - 3

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

20 - 13

Finalmente, efectuamos la resta

7

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

12 + 35 - 55 \div 11 + 9

Posteriormente, efectuamos la división,

12 + 35 - 5 + 9

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

12 + 35 + 9 - 5

Posteriormente, efectuamos las sumas

56 - 5

Finalmente, efectuamos la resta

51


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Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

12 \div 2 \cdot 3

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis ( \ ) para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

12 \div (2 \cdot 3)

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto 2 \cdot 3, para obtener 12 \div 6 que a su vez, es igual a 2. Por otra parte, si consideramos la operación

(12 \div 2) \cdot 3

Se está indicando que primero se debe efectuar la división 12 \div 2, para obtener 6 \cdot 3 que a su vez, es igual a 18.

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes [ \ ] y llaves \{ \ \}, sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot (5 + 1)

Lo primero que debemos notar es que la suma 5 + 1 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 \cdot 6

Finalmente, efectuamos el producto,

18

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

2 \cdot (9 - 2) + 10

Lo primero que debemos notar es que la resta 9 - 4 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

2 \cdot 7 + 10

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

14 + 10

Finalmente, efectuamos la suma,

24

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

3 + 4 \cdot [3 + 5]

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

3 + 4 \cdot 8

Posteriormente, efectuamos el producto,

3 + 32

Posteriormente, efectuamos la suma,

35

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

100 - 2 \cdot [ -43 ]

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

100 + 86

Posteriormente, efectuamos la suma,

186

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Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 5 \div (3+2) - 2] \}

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 \div 5 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}

Posteriormente, efectuamos la resta,

5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}

Posteriormente, efectuamos la división,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 25 \}

Finalmente, efectuamos la resta,

-20

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la división,

72 - 5

Finalmente, efectuamos la resta,

-67


¿Cuál es el resultado de 8÷2(2+2)?

En el 2019 se viralizó un debate sobre cual es el resultado de la operación 8÷2(2+2), pensé que había quedado en el olvido y que ya se había aclarado la situación. Sin embargo, me preguntaron cual era el resultado de esta operación citándome en un tweet y, aún hoy, las personas que respondían no se decidían entre 1 y 16.

Es necesario entender que al considerar operaciones mixtas, hay una jerarquía establecida entre las operaciones. Primero se deben efectuar todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último todas las restas. También hay que considerar que si se presentan signos de agrupación hay que efectuar primero lo contenido entre paréntesis (), luego corchetes [] y luego llaves {}; hay que efectuar las operaciones que se encuentran dentro de ellos considerando la jerarquía original.

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¿Las calculadoras mienten?

8÷2(2+2)
Calculadora Android.
8÷2(2+2)
Calculadora “CASIIO” comprada en los chinos.

Al calcular esta operación en una calculadora, los resultados diferirán dependiendo de como han sido programadas pues algunas han sido programadas para priorizar la jerarquía entre las operaciones y otras han sido programadas para priorizar el orden de aparición de las operaciones.

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Escribir bien…

En mi opinión, el problema con ese caso específico es que la persona que lo planteó originalmente no tiene la más mínima de cómo se usan los signos de agrupación pues cuando se plantean operaciones entre números, éstas siempre provienen de un caso real, así que ese tipo de problemas siempre estarán bien planteados si se escriben correctamente. La ambigüedad en las matemáticas no debe tener cabida.

Esa operación tal como está definida es como plantear una pregunta sin signos de interrogación, comas, puntos o acentos .

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¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Supongamos que usted trabaja para una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Suponga además que usted debe hacer esto dos veces más, entonces esta situación la describe con la siguiente operación (8÷2)×2. Si nuevamente le indican qué debe hacer esto dos veces más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

(8÷2)×(2+2)
= 4×4
= 16

Esto quiere decir que al final deberá repartir 16 trozos de torta.

Caso 2

Suponga nuevamente que usted trabaja en una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Sin embargo, le indican que ahora no es un par de niños si no que son dos pares de niños, esta situación se describe con la operación 8÷(2×2). Por último, le indican que han llegado dos pares de niños más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

8÷[2×(2+2)]
= 8÷[2×4]
= 8÷8
= 1

Esto quiere decir que al final deberá repartir un pedazo de torta a cada niño.

En conclusión…

Considerando estos dos casos, notamos que cada uno tiene su propio planteamiento e interpretación. Siempre especificando cuales operaciones se han agrupado y siempre especificando qué operaciones se deben efectuar primero. Sin embargo, el problema original se resume en el siguiente tweet: