¿Está definida la resta de dos números naturales?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Qué se obtiene?

Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por y nos representará ninguna cantidad.

El número cero nos da pie para definir una nueva gama de números: Si es un número natural entonces definimos como su opuesto aditivo y tendrá la siguiente propiedad:

Nota: Podemos decir, además, que es el opuesto aditivo de $latex-a$.

Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales y , entonces al sumar con el opuesto aditivo de , la operación se conoce como resta y la escribimos de la siguiente forma:

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número y el opuesto aditivo de cada uno de los números naturales. Lo denotaremos por y lo expresamos extensivamente así:

Gráficamente, podemos disponer los números enteros en una recta de la siguiente manera:

Finalmente, es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

---