1. ¿Qué son los números enteros?
2. Operaciones entre Números Enteros
   1. Suma y Resta de Números Enteros
      1. Ejemplos
         1. Ejemplo 1
         2. Ejemplo 2
         3. Ejemplo 3
         4. Ejemplo 4
   2. El producto de Enteros y la Ley de los Signos
      1. Ejemplo
         1. Ejemplo 5
         2. Ejemplo 6
         3. Ejemplo 7
         4. Ejemplo 8

¿Qué son los números enteros?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Puede el resultado de esta situación representarse con un número natural?

Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por y nos representará ninguna cantidad.

El número cero permite definir una nueva gama de números, de la siguiente forma: Si es un número natural entonces definimos un nuevo número como su opuesto aditivo, que tendrá la siguiente propiedad:

Nota: Podemos decir, además, que es el opuesto aditivo de .

Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales y , entonces al sumar con el opuesto aditivo de , la operación se conoce como la resta y la escribimos de la siguiente forma:

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número y el opuesto aditivo de cada número natural. Lo denotaremos por y lo expresamos extensivamente así:

Este conjunto continúa de manera indefinida siguiendo la secuencia de los números naturales y además, siguiendo la secuencia de los opuestos aditivos de los números naturales , es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva.

También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta. Los números naturales se escriben hacia la derecha y sus opuestos aditivos se escriben hacia la izquierda, el cero se escribe el medio de ambos, así

Es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

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Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

Ejemplos

Ejemplo 1

Para efectuar la suma , ambos números tienen signo positivo, así que los sumamos y mantenemos el signo positivo.

Ejemplo 2

Para efectuar la suma , estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, es el mayor, así que dejamos el signo positivo.

Ejemplo 3

Para efectuar la suma , estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, es el mayor, así que dejamos el signo negativo.

Ejemplo 4

Para efectuar la suma , ambos números tienen signo negativo, así que los sumamos y mantenemos el signo negativo.

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El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

Ejemplo

Ejemplo 5

Para efectuar el producto , el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

Ejemplo 6

Para efectuar el producto , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

Ejemplo 7

Para efectuar el producto , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

Ejemplo 8

Para efectuar el producto , el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

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Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros? Debemos entonces definir los Números Racionales.

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