Números Enteros

¿Está definida la resta de dos números naturales?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Qué se obtiene?

Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por 0 y nos representará ninguna cantidad.

El número cero nos da pie para definir una nueva gama de números: Si a es un número natural entonces -a será su opuesto aditivo y tendrá la siguiente propiedad:

Opuesto Aditivo | totumat.com

Note que de esta forma forma a será el opuesto aditivo de -a. Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales a y b, entonces al sumar a con el opuesto aditivo de b, la operación a+(-b) se conoce como resta y la escribimos de la siguiente forma:

a menos b | totumat.com

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número 0 y el opuesto aditivo de cada uno de los números naturales. Lo denotaremos por \mathbb{Z} y lo expresamos extensivamente así:

El conjunto de los números enteros | totumat.com

Gráficamente, podemos disponer los números enteros en una recta de la siguiente manera:

El conjunto de los números enteros | totumat.com
Representación gráfica de los números enteros

Finalmente, es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

Los naturales están contenidos en los enteros. | totumat.com

Números Naturales

¿Cuál es la naturaleza de los números naturales?

Los números naturales son aquellos que aprendemos de forma natural contando los dedos de nuestras manos, caramelos, platos en una mesa, pelotas en una caja, billetes, etc; es decir, todos los números que podamos usar para representar una cantidad de objetos.

Empezando por el 1, definimos cada término como el anterior y sumándole 1. Los denotaremos con el símbolo \mathbb{N} y lo definiremos de la siguiente manera:

Número Naturales | totumat.com
Conjunto de los números naturales

Este conjunto continúa de manera indefinida continuando la secuencia que se estableció, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva. También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta así

Representación gráfica de los números naturales

Operaciones entre números naturales

Es posible definir operaciones entre números naturales de forma intuitiva, un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la suma para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar dos grupos distintos de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con tres objetos y otra bolsa con nueve objetos; y se guarda el contenido de ambas en una caja, se tendrá un total de doce objetos en la caja.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden sumar y obtener otro número natural. La suma se denotará con el signo «+» y se lee más. Además, podemos establecer una relación entre la suma de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=». Retomando el último ejemplo, podemos decir que

tres más nueve es igual a doce
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Por otra parte si se tiene una cantidad de objetos y esta cantidad se repite un número de veces, entonces el producto (o multiplicación) nos representará la cantidad total de objetos que se obtendrá al agruparlos todos. Por ejemplo, si se tienen tres paquetes de caramelos y cada paquete tiene diez caramelos, en total se tendrán treinta caramelos.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden multiplicar y obtener otro número natural. El producto se denotará con el signo » \cdot » (en algunos casos se usa «\times«) y se lee por. A cada uno de los términos involucrados en un producto los llamaremos factores. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

tres por diez es igual a 30

Es posible definir otras operaciones entre números naturales, sin embargo, el resultado no siempre será un número real. Así que será necesario definir una nueva gama de números que nos permita definir nuevas operaciones entre números naturales.