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Funciones

Funciones Reales

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. ¿Qué es una función?
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función
      2. Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función
      3. Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función
      4. Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función
      5. Ejemplo 5: Regla general para una función particular
      6. Ejemplo 6: Notación de función
      7. Ejemplo 7: Notación de función
  2. Dominio de una función
  3. Rango de una función
  4. Funciones Reales
    1. Ejemplos: evaluación de funciones
      1. Ejemplo 8
      2. Ejemplo 9
      3. Ejemplo 10
      4. Ejemplo 11

¿Qué es una función?

Las funciones constituyen un importante elemento de las matemáticas pues a través de ellas se pueden definir relaciones entre cualquier tipo de conjuntos ricas en propiedades. Veremos cuales son las funciones más básicas que podemos definir sentándonos en los números reales, sin embargo, el universo de funciones va mucho más allá.

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Dados dos conjuntos A y B, definimos una función que va desde el conjunto A hasta el conjunto B como una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento del conjunto A con un único elemento de B. Al conjunto A lo llamaremos conjunto de salida y al conjunto B lo llamaremos conjunto de llegada.

Usualmente denotaremos a las funciones con la letra f, entonces una función que va de A en B se denota como

f: A \longrightarrow B

y formalmente diremos que corresponde a cada elemento a \in A con un único elemento b \in B. Consideremos algunos ejemplos para entender mejor este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean A=\{ 1, 2 \} y B=\{ a, b \} dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
2 \rightarrow b

Esta regla de correspondencia sí determina una función, ya que a cada elemento de A lo estamos correspondiendo con un único elemento de B.

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean A=\{ 1, 2, 3 \} y B=\{ a, b, c, d \} dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
2 \rightarrow b
3 \rightarrow c

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que al elemento d \in B no lo hemos correspondido con ningún elemento, se mantiene el hecho de que a cada elemento de A lo estamos correspondiendo con un único elemento de B.

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean A={ 1, 2, 3 } y B={ a, b, c } dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
2 \rightarrow a
3 \rightarrow b

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que los elementos 1 \in A y 2 \in A los hemos correspondido con el mismo elemento a \in B, se mantiene el hecho de que a cada elemento de A lo estamos correspondiendo con un único elemento de B.

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Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función

Sean A={ 1, 2, 3 } y B={ a, b, c } dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
1 \rightarrow b
2 \rightarrow b
3 \rightarrow c

Esta regla de correspondencia no determina una función. Pues podemos notar inmediatamente que al elemento 1 \in A no lo hemos correspondido con un único elemento de B si no con dos elementos, que en este caso son a,b \in B.

Ejemplo 5: Regla general para una función particular

Sean A=\mathbb{N} y B={ 1 } dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow 1
2 \rightarrow 1
3 \rightarrow 1
4 \rightarrow 1
\vdots

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Sin embargo, aunque podemos hacernos una idea de todas las correspondencias que ésta hace, no podemos listarlas todas de forma exhaustiva.

Es por esto que podemos decir que en general, para cualquier elemento n \in \mathbb{N}, podemos definir esta regla de correspondencia así:

n \rightarrow 1

Ejemplo 6: Notación de función

Formalmente, si correspondemos a un elemento a \in A con un único elemento b \in B, la notación para definir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos a través de una función f es la siguiente:

f(a) = b
Esta expresión se lee f de a es igual b.

Entonces en nuestro último ejemplo, podemos definir la función de la siguiente forma:

f: \mathbb{N} \longrightarrow { 1 }, \ f(n) = 1

Ejemplo 7: Notación de función

Sean A=\mathbb{N} y B=\mathbb{N} dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

f(n) = n

Esta regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con él mismo, sí determina una función.

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Dominio de una función

Definimos el dominio de una función f: A \rightarrow B como el conjunto de elementos donde ella está definida y lo denotamos como Dom(f).

Es importante notar que el dominio de la función f es exactamente igual al conjunto de salida, es decir, el conjunto A.

Rango de una función

Si a es un elemento del dominio de la función f, diremos que f(a) es la imagen de a a través de la función f.

Definimos el rango de la función f: A \rightarrow B como el conjunto de todas las imágenes del conjunto A a través de la función f y lo denotamos como Rgo(f).

Es importante notar que el rango de la función f está contenido en el conjunto de llegada, es decir, el conjunto B.

Funciones Reales

Definiremos las funciones reales como aquellas funciones cuyo conjunto de salida es el conjunto de los números reales y el conjunto de llegada es el conjunto de los números reales, es decir, definidas como

f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

Si consideramos la variable y=f(x). Se llama a la variable x como variable independiente y a la variable y como variable dependiente. Esto se debe a que los valores que tendrá la expresión que define a y=f(x) depende enteramente de la variable x. La expresión f(x) se lee f de x.

A partir de las variable independiente x y la variable dependiente y, podemos definir pares ordenados y así, expresar a las funciones reales con subconjuntos en el Plano Cartesiano, de la siguiente forma:

\left\{ \big( x , y \big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: y = f(x) \right\}

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Definiendo la regla general de correspondencia de una función, podemos indicar con claridad qué valores son los que estamos correspondiendo evaluando la función, es decir, sustituyendo el valor de la variable independiente por un número real dado y así determinar el valor de la variable dependiente con quien ha sido correspondido.

Veamos en los siguientes ejemplos como evaluar funciones en un número real.

Ejemplos: evaluación de funciones

Ejemplo 8

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=x. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=2, entonces sustituimos la variable x por el número 2 de la siguiente forma:

f(2)=2

Esto quiere decir que la función corresponde al número dos con el número dos.

Ejemplo 9

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=-x+3. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=5, entonces sustituimos la variable x por el número 5 y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

f(5)= -(5)+3 = -2

Esto quiere decir que la función corresponde al número cinco con el número menos dos.

Ejemplo 10

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=x^2 + 6. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=-1, entonces sustituimos la variable x por el número -1 y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

f(-1)= (-1)^2+6 = 1+6 = 7

Esto quiere decir que la función corresponde al número menos uno con el número siete.

Ejemplo 11

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=\sqrt{x} - 8. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=9, entonces sustituimos la variable x por el número 9 y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

f(9)= \sqrt{9} - 8 = 3-8 = -5

Esto quiere decir que la función corresponde al número nueve con el número menos cinco.

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3 comentarios en “Funciones Reales”

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