Puntos de corte de una función con los ejes

Al estudiar la gráfica de una función real, notamos que hay puntos en los cuales la función pasa por encima de los ejes del plano cartesiano, estos son conocidos como los puntos de corte de la función con los ejes y se pueden calcular de forma analítica fijando condiciones sobre la forma en que está definida la función. Veamos cuales son las condiciones para los distintos ejes.

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Punto de corte con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje Y, son de la forma $(0,y)$ donde $y$ puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Formalmente, si consideramos una función $f(x)$ tal que $x=0$ es un elemento de su dominio, entonces calculamos el punto de corte con el Eje Y evaluando la función en $x=0$ , es decir, calculando

$f(0)$

Recordando que una función es una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento de su dominio con un único elemento en el rango, podemos concluir que una función tendrá a lo sumo un solo punto de corte con el Eje Y.

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje Y.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función lineal $f(x)=3x-1$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en $x=0$ , entonces,

$f(0) = 3(0)-1 = 0 - 1 = -1$

En conclusión, la función $f(x)$ corta al Eje Y en el punto $(0,-1)$ . Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Ejemplo 2

Considerando la función cuadrática $f(x)=-(x+1)^2+4$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en $x=0$ , entonces,

$f(0) = -(0+1)^2+4 = -1 + 4 = 3$

En conclusión, la función $f(x)$ corta al Eje Y en el punto $(0,3)$ . Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 3

Considerando la función exponencial $f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en $x=0$ , entonces,

$f(0) = \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{0+2} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}}{3} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}-3}{3}$

En conclusión, la función $f(x)$ corta al Eje Y en el punto $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ . Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Ejemplo 4

Considerando la función radical $f(x)= \sqrt{x - 4} + 2$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje Y, pues el punto $x=0$ no está en su dominio. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Puntos de corte con el Eje X

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje X, son de la forma $(x,0)$ donde $x$ puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Formalmente, si consideramos una función $f(x)$ , entonces calculamos el punto de corte con el Eje X verificando para cuales valores de $x$ la función se anula, es decir, calculando los valores de $x$ para los cuales

$f(x) = 0$

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje X.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función lineal $f(x)=3x-1$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$ , entonces,

$f(x) = 0$

$\ \Rightarrow \ 3x-1 = 0$

$\ \Rightarrow \ 3x=1$

$\ \Rightarrow \ x = \frac{1}{3}$

En conclusión, la función $f(x)$ corta al Eje X en el punto $\left( \frac{1}{3},0 \right)$ . Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Ejemplo 6

Considerando la función cuadrática $f(x)=-(x+1)^2+4$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$ , entonces,

$f(x) = 0$

$\ \Rightarrow \ -(x+1)^2+4 = 0$

$\ \Rightarrow \ -(x+1)^2 = -4$

$\ \Rightarrow \ (x+1)^2 = 4$

$\ \Rightarrow \ \sqrt{(x+1)^2} = \sqrt{4}$

$\ \Rightarrow \ |x+1| = 2$

A partir de esta última igualdad, podemos considerar dos casos: $x+1=2$ ó $x+1=-2$ , por lo tanto, $x=1$ ó $x=-3$ .

En conclusión, la función $f(x)$ corta al Eje X en los puntos $\left( 1,0 \right)$ y $\left( -3,0 \right)$ . Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función raíz cuadrada para poder despejar la variable $x$ cuando esta se encuentra involucrada en una expresión cuadrática.

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Ejemplo 7

Considerando la función exponencial $f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$ , entonces,

$f(x) = 0$

$\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1 = 0$

$\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2} = 1$

$\ \Rightarrow \ \textit{\Large e}^{x+2} = 3$

$\ \Rightarrow \ \ln\left( \textit{\Large e}^{x+2} \right) = \ln(3)$

$\ \Rightarrow \ x+2 = \ln(3)$

$\ \Rightarrow \ x = \ln(3) -2$

En conclusión, la función $f(x)$ corta al Eje X en el punto $\left( \ln(3) -2,0 \right)$ . Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función logaritmo neperiano para poder despejar la variable $x$ cuando esta se encuentra involucrada en una expresión exponencial.

Ejemplo 8

Considerando la función radical $f(x)= \sqrt{x - 4} + 2$ , determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje X, pues el punto $y=0$ no está en su rango. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Puntos de corte de una función con los ejes

Punto de corte con el Eje Y

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Puntos de corte con el Eje X

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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Punto de corte con el Eje Y

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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Puntos de corte con el Eje X

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